Equations differentielles

Bonjour voici mon sujet

On a étudié l'évolution d'une colonie de protozoaires placé dans un milieu limité. on a introduit dans le milieu de culture 200 protozoaires à l'instant t=0. le milieu étant limité, le nombre de protozoaires ne peut croitre indéfiniment. Ce nombre (en centaine),qui dépend du temps exprimé en heure est représenté par un fonction f définie et dérivable sur R+
Pour décrire l'évolution du nombre de protozoaires dans le temps, on utilise le modèle de Vernhulst qui conduit à l'équation logistique (E) y'=(y/2)(1-y/10) qui est vérifié par f sur R+.

Déterminer les 2 solutions constantes de (E) (moi j'ai 0 et 10)
on suppose que, pour tout t apartenant a R+,f(t)>0 et on pose g la fonction definie sur R+ par g=1/f

a) Démontrer que la fonction f est solution de (E) avec f(0)=2 si g est solution de l'équation y'=-(1/2)y+1/20 avec g(0)=1/2.

b) Donner les solutions de l'équation différentielle: y'=-(1/2)y+1/20
c) En déduire, pour tout t ∈R l'expression des fonctions g et f.

Le taux de saturation de la colonie correspond à la lim de f en +infini. Quel est ce taux.
Determiner l'instant t ou la population de protozoaires sera = à 500
Au bout de combien de temps la colonie de protozoaires dépassera 95% de sont taux de saturation?

merci d'avance

Bonjour,

La question 1) est juste.

Pour la 2), le début semble incomplet f(0) = 2g ?
a) Calcule g' puis remplace dans l'équation différentielle f' et f par leur expression en fonction de g et g'.
b) Résous l'équation différentielle.

non désolé c'est f0=2

Tu as calculé f' en fonction de g ?

f'=(1/g)'=g'/g² ?

-g'/g²

Il manque un moins !

f'=(1/g)'= - g'/g²
Remplace f' et f en fonction de g dans l'équation (E).

-g'/g²=(1/2g)(1-(1/10g)) ?

g'=((1/2g)(1-(1/10g)))/-g²

Oui
-g'/g²=(1/2g)(1-(1/10g))

Tu multiplies par -g²
g' = ....

multiplie ou divise ?

Multiplier.

g'=-g/2+1/20 ?

Oui,

Calcule g(0)
Puis passe à la question b) la résolution de l'équation différentielle.
puis c) écriture des fonctions.

j'avais fait une erreur dans le sujet, sa change quelque chose ?

Une erreur ou ? pas de problème si c'est à la question 2) a).

ok je vois pas le cheminement qu'il faut pour arrivé au résultat

:frowning2:

g = 1/f,
soit g(0) = 1/f(0)
donc
....

g0= 1/2

Oui pour g(0).

et ensuite j'en sais rien

Question 2) b)
Résous y' +y/2 = 0, en utilisant ton cours.