Montrer qu'une suite définie par une intégrale est convergente et déterminer sa limite

Bonjour, j'ai un problème avec mon DM de maths.

On considère la fonction f définie su [o,+∞[ par: f(x)= $ln(x+3)x+3\frac{ln(x+3)}{x+3}$

On définit la suite $u_{n}$
avec n≥0 par son terme général $u_{n}$ $∫nn+1f(x)\int_{n}^{n+1}{f(x)}$ dx

a) justifier que si n≤x≤n+1 alors f(n+1)≤f(x)≤f(n)

b) montrer sans chercher à calculer $u_{n}$ que pour tout entier naturel n,
f(n+1)≤ $u_{n}$ ≤f(n)

c) en déduire que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite.

Je bloque tout de suite sur la première question ... Je ne voit vraiment pas comment commencer ... Es-ce que quelqu'un pourrait m'aider ? Merci d'avance...

salut

par hasard, ta fonction ne serait-elle pas ... décroissante ?

oui,

la question d'avant était: dresser le tableau de variation de cette fonction et j'ai trouvé quelle est strictement décroissante sur [0,+∞[

donc tu as la réponse à ta question ! car en effet, une fonction décroissante a un certain effet sur l'ordre des nombres... mais lequel ?

oui... donc comme la courbe est décroissante f(n+1)≤f(n) ... donc
f(n+1)≤f(x)≤f(n) ????
Je ne comprend pas ce passage ...

re.

on part de n≤x≤n+1 auxquels nombres on applique la fonction f décroissante

on obtient donc f(n) ≥ f(x) ≥ f(n+1) par renversement de l'ordre.

et c'est aussi f(n+1) ≤ f(x) ≤ f(n) en le lisant dans l'autre sens.

ok ?

ah ben oui ... j'ai comprit maintenant ...
Pour la question b) faut partir du même principe ??

re.

tu as un théorème plus général sur l'intégrale d'une fonction bornée :

$x∈[a;b]m≤f(x)≤m→m(b−a)≤∫abf(x)dx≤m(b−a),(3)\forall\ x \in [a;b]\quad\quad m \le f(x) \le m \quad \rightarrow \quad m(b-a) \le \int_a^b f(x) \text{d}x \le m(b-a), \quad \quad (3)$

lui-même conséquence du théorème sur la croissance de l'intégrale :

$x∈[a;b]f(x)≤g(x)→∫abf(x)dx≤intabg(x)dx,(2)\forall\ x \in [a;b]\quad\quad f(x) \le g(x) \quad \rightarrow \quad \int_a^b f(x) \text{d}x \le int_a^b g(x) \text{d}x, \quad \quad (2)$

lui-même conséquence du théorème sur la positivité de l'intégrale :

$x∈[a;b]f(x)≥0→∫abf(x)dx≥0.(1)\forall\ x \in [a;b]\quad\quad f(x) \ge 0 \quad \rightarrow \quad \int_a^b f(x) \text{d}x \ge 0. \quad \quad (1)$

je parle d'un "vrai intervalle", avec a inférieur à b.

partant de l'encadrement dont on a parlé hier, il faut te servir de (3).

n'oublie pas de jeter un œil à tes cours pour vérifier ce que j'ai évoqué.

ok ... donc sa donne :

f(n+1)≤f(x)≤f(n)
donc f(n+1)×(n+1-n)≤ $∫nn+1f(x)dx\int_{n}^{n+1}{f(x)}dx$ ≤f(n)×(n+1-n) d'après l'inégalité de la moyenne avec n< n+1
donc f(n+1)≤ $∫nn+1f(x)dx\int_{n}^{n+1}{f(x)}dx$ ≤f(n)
donc f(n+1) ≤ $u_{n}$ ≤ f(n)

Es-ce que c'est juste ??

de plus pour la question c) :

f(n+1)≤ $u_{n}$ d'après b)
donc $u_{n}$ est minorée par f(n+1)
et f(x) est décroissante d'après la question 1) donc $∫nn+1f(x)dx\int_{n}^{n+1}{f(x)}dx$ est décroissante avec n < n+1 donc $u_{n}$ est décroissante ...

et donc comme $u_{n}$ est décroissante et minorée elle est convergente .
Mon raisonnement est juste ??

pour b) c'est bon.

pour c), le théorème des gendarmes...

je doit utiliser le théorème des gendarmes pour prouver la convergence ?? ou la limite ??

les deux à la fois (conjonction "et", pas "puis" dans l'énoncé) : d'une pierre deux coups !

je ne vois pas comment je pourrais l'utiliser ... Faut partir de f(n+1)≤ $u_{n}$ ≤f(n) ??

connais-tu la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ ?

oui c'est 0

... donc... ?

je ne voit pas...

la limite quand x tend vers +∞ de f(x) est 0 ...
donc f(n) a aussi pour limite 0 ... et donc f(n+1) a aussi pour limite 0

donc dans f(n+1)≤ $u_{n}$ ≤f(n) on utilise le théorème des gendarmes et donc $u_{n}$ a pour limite 0 ...
Mais c'est bizarre... qu'es ce qui nous prouve qu'elle est convergente ?

(excuse-moi)

reprends calmement l'énoncé du théorème des gendarmes.

ah oui bien sur... :razz:
la limite de $u_{n}$ est 0 donc la suite $u_{n}$ converge car il existe un réel L tel que limite de $u_{n}$ = L

voilà.

en fait le théorème des gendarmes le dit dans sa conclusion : si les suites encadrantes convergent vers L, alors la suite encadrée converge vers L aussi.

ok... merci de m'avoir aider ...

je t'en prie !