intégrale démonstration

Bonjour je dois démontrer que: " $∫ab(f(x)+αg(x))2dx≥0\int_{a}^{b}{(f(x)+\alpha g(x)})^{2}dx\geq 0$ "
pour toute valeur de α et avec f et g continues sur [a;b]

je pensais développer la fonction soit ainsi dans l'intégrale j'ai:
$f(x)2+2αf(x)g(x)+g(x)2f(x)^{2} +2\alpha f(x)g(x) +g(x)^{2}$

les carrés sont positifs il ne reste plus qu'à savoir si 2αf(x)g(x) est strictement supérieur à f(x)² + g(x)² mais j'ai un peu de mal là...si alpha est positif ok, si alpha est nul ok mais comment procéder quand alpha est nul?

merci d'avance

salut

l'intégrande est un carré ? toujours positif donc. vois dans ton cours la propriété de positivité de l'intégrale.

vous voulez dire que comme (f(x)+alphag(x))² est un carré c'est nécessairement positif et donc que l'intégrale d'une fonction positive est positive...mais cet exercice ne sert à rien alors?!

d'ailleurs je viens de me rendre compte que ce qui faut démontrer c'est: $i(\alpha )= \int_{a}^{b}{(f(x)+\alpha g(x))^{2}}dx\geq 0 \ \$

ça change quelque chose ce I(α) ? non je ne pense pas comme il y'a toujours le carré.

il faut juste expliquer pourquoi on est bien dans les conditions d'application de ce théorème.

tu dois en être au tout début du chapitre "intégrales", non ?

exact. Mais il suffit de dire que comme f et g sont continues sur [a;b] et que comme un carré est postif alors l'intégrale d'une fonction positive est positive ainsi l'expression proposée est vérifiée...ou je me trompe?

c'est bon ; et pour coller au cadre de l'intégrale de terminale, il faut préciser que, puisque f et g sont continues, alors (f + ag)² est continue elle aussi (ainsi une primitive existe, etc.).