Interprétation géométrique

Bonjour à tous j'ai donc un problème avec un exercice de spécialité...

Interprétation géométrique de z→az+b $zˉ\bar{z}$

Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O;u, v).
A tout point M d'affixe z, on associe le point M' $f_{a,b}$ (M) d'affixe az+b $zˉ\bar{z}$ avec a, b dans $c\mathbb{c}$

A) Premiers exemples : si a ou b est nul

Reconnaître $f_{a,b}$ pour a=1,b=0 ; a=0,b=1
Soit b = 0 et a non nul.
Quelle est la transformation $f_{a,b}$ ?
Supposons maintenant que a=0.

a) Si b= $ei2π3e^i\frac{2\pi}{3}$ quelle est la transformation $f_{a,b}$ ?

En déduire la construction géométrique de M' quand a = 0 et b= 3 $ei2π3e^i\frac{2\pi}{3}$

b) Plus généralement pour a=0 et b $≠\neq$ 0 , écrire $f_{a,b}$ comme la composée de deux transformations simples.

B) Etude détaillée du cas a=1 et b=-j

On rappelle que j est le nombre complexe de module 1 et d'argument $2π3\frac{2\pi}{3}$ .

Soit A, B , C, D les points d'affixes respectives a= 2 $eiπ3e^i\frac{\pi}{3}$ , b= 2i, c=3 et d= $ei5π6e^i\frac{5\pi}{6}$ .
Placer les points A,B,C,D sur une figure pouis déterminer et placer les points A',B',C'et D'.
Quelles observations peut-on faire sur la position des points A',B',C' et D'?
Déterminer l'ensemble $δ\delta$ des points M d'affixe z=x+iy, x et y réels, tels que M' soit confondu avec l'origine O du repère. Tracer $δ\delta$
Quelle est la transformation plane d'expression complexe z'=-j $zˉ\bar{z}$ ?

4)Expliquer comment construire géométriquement le point $M_1$ (-j $zˉ\bar{z}$ ), puis le moint M'(z') à partir du point M(z).

Justifier alors les observations effectuées à la question 1 et le résultat de la question2.

C) Application

De façon analogue déterminer une construction géométrique du point d'affixe (z+i $zˉ\bar{z}$ ) à partir du point d'affixe z.
En déduire la construction géométrique du point M" d'affixe Z"= $12\frac{1}{2}$ (z+i $zˉ\bar{z}$ ) à partir du point M d'affixe z.

Donc j'ai commencé l'exercice pour la partie A, j'ai trouvé ceci:

pour a=1 et b =0 on a z→z on a donc des points invariants la transformation est l'identité...
pour a =0 et b = 1 on a z→ $zˉ\bar{z}$ la transformation est donc une symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses donc (Ox)
on a z→az
donc c'est une homothétie de centre O et de rapport enfin je suis pas sur parce que on dit que a ∈ $c\mathbb{c}$ don c c'est une similitude directe de centre O?
je ne suis pas trop sûre... c'est une transformation de la forme z→a $zˉ\bar{z}$ donc comme transformation c'est une similitude indirecte de centre O?
dans mon cours j'ai ceci: "Toute similitude indirecte s'écrit comme la composée d'une similitude directe et d'une symétrie orthogonale"

Et ici je vois que c'est la composée de 2 transformations
d'abord z→ $zˉ\bar{z}$ puis z'→ $ei2π3e^i\frac{2\pi}{3}$ z'
On a donc la composée d'une symétrie par rapport à l'axe des abscisses suivie d'une rotation de centre O et d'angle $2π3\frac {2\pi}{3}$

mais du coup dans la a) on repond a la b) en même temps...

là je suis en train de faire la partie B... je pense que placer les point A,B, C et D deja j'y arriverai... j'aimerai savoir si ce que j'ai trouvé et bon ou pas... merci d'avance à ce qui prendront la peine de lire mon message ^^

Salut,

A2) Oui si a ∈ $mathbb{C}$ , il s'agit d'une similitude de centre 0.
3) Oui similitude indirecte. Ta composée est bonne.

Bonjour tout d'abord merci pour votre réponse , j'ai avancé un peu depuis,

j'ai trouvé ceci pour la partie B:

pour la 1) on a:
$z'=z-j\bar{z}=z+e^{-\frac{i\pi}{3}}\bar{z} \$

donc j'ai calculé les affixes des points A' B' C' D'
je trouve a' =0
b'= $2ei5π62e^{i\frac{5\pi}{6}}$
c'= $33e−iπ63\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{6}}$ = $−33ei5π6-3\sqrt{3}e^i\frac{5\pi}{6}$
et d'= $2ei5π62e^{i\frac{5\pi}{6}}$ = b'

on peut tous les écrire sous la forme d'un réel par le produit du nombre complexe : $ei5π6e^{i\frac{5\pi}{6}}$
donc ils sont alignés

ensuite pour la 2) j'ai ceci:

$z′=x′+iy′=x+iy−(−12+i32)(x−iy)z'=x'+iy'=x+iy-\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(x-iy)$

$x′+iy′=3x−y32+i,−x3+y2x'+iy'=\frac{3x-y\sqrt{3}}{2}+i,\frac{-x\sqrt{3}+y}{2}$
$\ {x'=\frac{3x-y\sqrt{3}}{2}\y'=\frac{-x\sqrt{3}+y}{2}$

${\frac{3x-y\sqrt{3}}{2}=0\\frac{-x\sqrt{3}+y}{2}=0$

donc on a
$x3−y=0\ x\sqrt{3}-y=0$ qui est la droite (OA)

J'ai un doute sur ce que tu appelles j ...

"on rappelle que j est le nombre complexe de module 1 et d'argument $2π3\frac{2\pi}{3}$ "

Ok je n'avais pas bien regardé ...
Terra

$z′=x′+iy′=x+iy−(−12+i32)(x−iy)z'=x'+iy'=x+iy-\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(x-iy)$

$x′+iy′=3x−y32+i,−x3+y2x'+iy'=\frac{3x-y\sqrt{3}}{2}+i,\frac{-x\sqrt{3}+y}{2}$
$\ {x'=\frac{3x-y\sqrt{3}}{2}\y'=\frac{-x\sqrt{3}+y}{2}$

${\frac{3x-y\sqrt{3}}{2}=0\\frac{-x\sqrt{3}+y}{2}=0$

donc on a
$x3−y=0\ x\sqrt{3}-y=0$ qui est la droite (OA)

Oui c'est juste.

d'accord merci beaucoup mais apres je suis bloquée je vois pas bien quoi faire la question 3 c'est le même type de reponse que dans la partie A) la question 3) non?

et pour construire les points deja je comprends pas c'est pas les 2 même point pour la question 4? car d'apres la question B)3°, les affixe sont egales...

je comprends pas... :frowning2:

Terra
d'accord merci beaucoup mais apres je suis bloquée je vois pas bien quoi faire la question 3 c'est le même type de reponse que dans la partie A) la question 3) non?
Si. Tu peux rédiger quelque chose qui ressemble à "On reconnaît la transformation de la question A3 et donc ... (tu te répètes) ..."

(je regarde pour la construction)

ba c'est ce que je voyais justement mais je pensais que peut être ils attendaient autre chose de nous...

merci beaucoup pour la construction

En fait non car nous avons $z′=−jzˉz'=-j\bar z$ au lieu de $z′=jzˉz'=j\bar z$

Bon je reprends ça à tête reposée cet après-midi ...

Terra

En déduire la construction géométrique de M' quand a = 0 et b= 3 $ei2π3e^i\frac{2\pi}{3}$
Y-a-t-il une faute de frappe dans cette ligne ? (un 3 en trop ?)

faut que je finisse cet exercice pour demain donc je pense que ce sera bon merci beaucoup pour votre aide... je vais essayer de chercher en attendant

non il n'y a pas de faute de frappe si c'est bien de la question partie A) 3)a)

il n'y a pas de 3 en trop c'est bien cela dans mon livre a oui du coup je crois que j'ai pas bon la question là...

enfin ma construction est fausse il ne suffit pas de faire une symetrie d'axe axiale puise une rotation....

As-tu bien lu mon post de 14h50 ?

oui je l'ai bien lu mais je ne vois pas ce que ça change :s

Le signe "-" rajoute une symétrie centrale.

donc c'est la composé d'une rotation avec une symetrie axiale d'axe l'axe des abcisse avec une symetrie centrale?

et ma construction géometrique dans la partie A) 3)a) elle est fausse non? a cause du 3 ou je construi bien M' en faisant une symetrie axiale puis une rotation?

et pour la partie B) je ne vois toujours pas pour la construction géometrique...

Terra

4)Expliquer comment construire géométriquement le point $M_1$ (-j $zˉ\bar{z}$ ), puis le moint M'(z') à partir du point M(z).
Je ne comprends pas la question puisque si j'ai bien compris l'énoncé $z′=−jzˉz'=-j\bar z$ (et donc z' $z_1$ ???)

je pensais ça aussi mais en faite le z' (affixe de M') ça doit etre $z−jzˉz-j\bar{z}$ je pense...

donc je pense que la transformation en B)3) est la la composée d'une symétrie orthogonale par rapport à l'axe des abscisses suivie d'une rotation de centre O d'angle $arg⁡(−j)=arg(j)−π=−π3\arg (-j)=arg (j)-\pi =-\frac {\pi}{3}$ ?

sinon j'ai reussi a rectifier ma contruction en A) bon j'espère que je vais en voir la fin de cette exercice :frowning2:

Terra
donc je pense que la transformation en B)3) est la la composée d'une symétrie orthogonale par rapport à l'axe des abscisses suivie d'une rotation de centre O d'angle $arg⁡(−j)=arg(j)−π=−π3\arg (-j)=arg (j)-\pi =-\frac {\pi}{3}$ ?
C'est juste.

du coup je ne parle pas de symetrie centrale là...

et du coup ma construction pour M1 dans la 4 c'est ça?
mais pour M' je vois pas c'est du type z-j $zˉ\bar{z}$ c'est une translation en plus? je vois pas bien

et du coup je suis bloqué pour la 5 aussi