Suites, limite et DEMONSTRATIONS

Bonjour, j'ai d'énormes problèmes avec les suites....

1. La suite (Un) est définie par : $u_0=2$ et $un+1=13un+2327u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}$ pour tout entier naturel n.

B. démontrer que si la suite $u_n)$ est convergente, alors sa limite est $l=2318l=\frac{23}{18}$ .

C. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : $un≥2318u_n \geq \frac{23}{18}$ .

Pour cette question, j'ai voulu essayer une démonstration par récurrence :

Pour tout entier naturel n, $un≥2318u_n \geq \frac{23}{18}$ .

INITIALISATION

Pour n=0, on a $u0=2≥2318u_0=2 \geq \frac{23}{18}$ .
Donc la propriété est vraie pour n=0.

HEREDITE

On suppose un entier naturel k tel que : benn..... Je ne sais pas.

CONCLUSION

La formule est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc pour tout n appartenant à N, $un≥2318u_n \geq \frac{23}{18}$ .

D. Etudier la monotonie de la suite Un et donner sa limite.

Je sais qu'il faut faire la différence entre $u_{n+1}$ et Un.

$un+1−un=13un+2327−(13un−1+2327)u_{n+1}-u_n= \frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27} - (\frac{1}{3}u_{n-1}+\frac{23}{27})$
<=> $13un+2327−13un−1−2327\frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27} - \frac{1}{3}u_{n-1}-\frac{23}{27}$
<=> $13un−13un−1\frac{1}{3}u_n - \frac{1}{3}u_{n-1}$

Après je ne sais plus quoi mettre.

2.A. Soit n un entier naturel $≥\geq$ 1. Démontrer que $\bigsum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{10^k}=\frac{1}{90}(1-\frac{1}{10^n})$.

B. La suite (Vn) est définie ar : v_n=1,2777...7 avec n décimale consécutive égales à 7.
Ainsi $v_0=1,2$ ; $v_1=1,27$ ; $v_2=1,277$ ;
En utilisant le 2A. démontrer que la limite de la suite (Vn) est un nombre rationnel r.

3. Les suites (Un) et (Vn) sont-elles adjacentes ? Justifier.

Pour les question 2A. B. C. je suis complètement perdue.

Merci d'avance pour votre aide.

Salut,

Pour démontrer l'hérédité :

Soit k un entier naturel fixé tel que $U_k$ ≥23/18
En partant de cette inégalité, tu en multiplies chaque membre par 1/3 puis tu ajoutes 23/27 de chaque côté. Tu arrives donc à $U_{k+1}$ ≥...