Variations de suite

Bonjour à tous !

Voici l'énoncé d'un exercice qui me pose quelques problèmes:

Soit (Un) une suite croissante
on définit la suite (Vn) par:
Vn = (U0 + U1 + ... + Un ) / (n+1)

Montrer que (Vn) est croissante et que, pour tout entier naturel n, on a Vn < Un.

Je ne vois pas comment montrer que Vn est croissante...
j'ai déjà essayé de calculer Vn+1 - Vn et j'ai aussi comparé (Un+1) / (Un) à 1 mais cela engendre des calculs interminables....

Si vous avez des pistes de calculs elles sont les bienvenues !

Merci d'avance !

Bonjour,

Utilise le fait que la suite (Un) est croissante.
Soit $U_{n+1}$ > $U_n$
....
$U_1$ > $U_0$
Si tu additionnes ...

Merci pour votre réponse !

Mais une fois les termes additionnés je ne sais pas comment montrer que Vn est croissante...

En divisant chaque terme par (n+1) tu dois pouvoir comparer $V_{n+1}$ avec $V_n$ .

Alors par exemple :

Vn = (Uo + U1 + ... + Un ) / ( n+1)

mais aussi

$vn=u0n+1+u1n+1+...+unn+1:etvn+1=u0n+1+u1n+1+...+unn+1+un+1n+1v_{n} = \frac{u_{0}}{n+1} + \frac{u_{1}}{n+1} +...+ \frac{u_{n}}{n+1} : et v_{n+1} = \frac{u_{0}}{n+1} + \frac{u_{1}}{n+1} +...+ \frac{u_{n}}{n+1} + \frac{u_{n+1}}{n+1}$

donc

$vn+1−vn=un+1n+1v_{n+1} - v_{n} = \frac{u_{n+1}}{n+1}$

Cela est-il correct ?
Comment déduire à partir de ce résultat que Vn est croissante ?

Je voulais que tu divises la somme obtenue précédemment en utilisant le conseil de mon premier post.

Donc ce que je viens de faire ne sert à rien ?

Pour conclure à partir de ton calcul, tu dois supposer que $U_{n,+1}$ est positif.

D'accord !
Et comme on ne sait pas que Un+1 est > 0 alors je ne peux pas utiliser cette méthode ...

Exact.