Problème faisant appel aux limites de fonctions



  • Bonjour, j'ai des difficultés avec un exercice. Dans la partie 1,j'ai répondu à une sorte de préliminaire qui consistait en l'étude de la fonction S(x)=(x²+1)/(x+1) (dérivabilité, tableau de variations, limites en +∞ et -1, asymptotes obliques et verticales, ébauche de représentation graphique sur ]-1;+∞[) et maintenant je dois résoudre un problème en rapport avec cette fonction. Voici l'énoncé:

    **Il y a une figure, je peux vous la décrire: il s'agit d'un rectangle DCBA (la lettre D est dans le coin supérieur gauche et la lettre A dans le coin inférieur gauche). On a tracé la diagonale [DB] et M est un point [BC]. Le segment [AM] coupe la diagonale [DB] en R. Enfin, I est le milieu de [AB], AB=2 et AD=1.
    L'objectif du problème est de savoir s'il existe ou non une position du point M pour laquelle la somme des aires des triangles ARD et BRM soit minimale.

    Partie 2 (modélisation):On note BM=x. On se place dans le repère orthonormé direct (A,I,D). On note (a;b) les coordonnées de R dans ce repère. K est le projeté orthogonal de R sur [AB].

    1. En utilisant un théorème bien connu dans le trangle ABD, puis dans le triangle ABM exrimer a en fonction de x**→ QUe veut-dire "repère orthonormé direct" ? Comment puis-je exprimer a en fonction de x ?

    **2) EN déduire que la sommes des aires vaut S(x)= (x²+1)/(x+1)

    Partie 3 (résolution du problème):Déduire des questions précédentes la position exacte du point M sur [BC] pour laquelle la somme des aires des triangles ARD et BRM est minimale. Donner la valeur minimale de S.**

    Pourriez-vous m'amener à trouver la démarche à suivre s'il-vous-plaît ?



  • Je peux peut-être essayer Thalès pour le question 1) partie 2 ? Je m'y atèle...


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Repère orthonormé, AI = AD
    Repére direct, l'angle vect AI, vect AD = 90°.
    Le théorème à utiliser est celui de Thalès.



  • J'ai essayé de faire Thalès (que je peux utiliser grâce au fait que K est le projeté orthogonal de R et que par conséquent (KR) // (BM) et (KR)//(AD) ); donc dans le triangle ABD cela donne l'égalité suivante:
    brbd=bkba=rkda\frac{br}{bd}=\frac{bk}{ba}=\frac{rk}{da} soit [√(b²+(2-a)²) ] / [√(1² + 2²)] = (2-a)/2 = RK / DA (mais en fait, RK = b).
    Dans le triangle ABM on a: aram=akab=rkmb\frac{ar}{am}=\frac{ak}{ab}=\frac{rk}{mb} soit AR/ [√(x² + 2²)] = a/2 = RK/ x

    Si je dois utiliser thalès dans ces deux triangles pour exprimer a en fonction de x , alors il faut que je leur trouve un "facteur commun": RK ?

    Car grâce au thm dans le triangle ABD, on peut dire que RK = (2-a)/2 et dans le triangle ABM que RK = ax/2

    Suis-je sur la bonne voie ? Si jamais c'est le cas, je ne sais pas comment avoir une véritable expression avec d'un côté les a et de l'autre côté les x, j'écris l'égalité: ax/2 = (2-a)/2 , ensuite je peux peut-être supprimer les "/2" qui sont présents dans les deux membres. J'obtiens alors ax = 2-a et là, c'est peut-être idiot mais je ne sais pas quoi faire.

    Est-ce que déjà je me suis aventurée au bon endroit ?

    p-s: merci pour vos indications de "vocabulaire" ("direct")



  • Ah... x = (2-a)/a ? Je n'ai pas l'impression que cela m'aide pour la question suivante... ^^
    Je trouve mon résultat assez bizarre, j'ai plus exprimé x en fonction de a que l'inverse. Aie.


  • Modérateurs

    Le résultat est correct, mais on demande a en fonction de x et non l'inverse;
    a = ....



  • ax=2-a donc... -a=ax-2, donc a= -ax+2 mai après je ne sais vraiment pas ?



  • Je dois partir, peut-on reprendre l'exercice demain matin ? Je peux être connecté à 8h30 si vous le voulez. Merci pour ces premières indications. Bonne soirée.


  • Modérateurs

    Ok, peut-être à demain vers 10h.



  • Bonjour, j'ai réessayé d'exprimer a en fonction de x, mais il doit y avoir des règles de calculs qui m'échappent car je ne suis pas du tout sûre de mon résultat.
    -> je retranscris l'égalité de départ: 2a2=ax2\frac{2-a}{2}=\frac{ax}{2} équivaut à 2-a=ax ce qui donne [tex]\frac{2-a}{a}=x[/text] (en passant le a de 'lautre côté) puis (2/a) - 1 = x (en simplifiant par a); mais est-ce qu'après je peux repasser le a dans l'autre membre ? je fais donc 2-1=ax et de là il s'ensuit 1=ax soit a = 1/x

    Est-ce correct ? (je dois rendre cet exercice mardi, je suis un peu inquiète^^)


  • Modérateurs

    a + ax = 2
    Tu mets a en facteur dans le premier membre
    a( .....) = 2
    a = ....



  • mmh... a + ax = 2 soit a(1+x)=2 donc a = 2/(1+x). Ok.

    J'ai commencé à réfléchir a la deuxième question mais quand j'exprime les aires de ADB et ABM, je n'arrive pas à faire apparaître a une seule fois. Et je pense que c'est nécessaire car l'énoncé dit bien "déduire de la question 1) )...
    Quand j'exprime ces aires cela donne ça: AABDA_{ABD} = (ADAB)/2= (12)/2=1.
    AABMA_{ABM} = (ABBM)/2= (2x)/2=x.

    Donc, a n'apparaît pas.


  • Modérateurs

    C'est l'aire des triangles ARD et BRM que tu dois exprimer en fonction de x.



  • ... mais dans la question 1) il y a marqué ABD et ABM, je ne comprends pas ?


  • Modérateurs

    La question 1, c'est pour trouver la relation entre a et x.
    La question 2, concerne l'objectif du problème.



  • D'accord. C'est vrai qu'ils ne précisent pas. Du coup, pour trouver l'aire de ADR et BRM, je ne sais pas vraiment comment faire. Ce ne sont pas des triangles rectangles (donc pas de trigo, ni de Pythagore). Je peux peut-être utiliser une méthode de soustraction ? Par exemple calculer AABMA_{ABM} et AARBA_{ARB} et ensuite soustraire la seconde à la première... Mais pour ça, il faudrait que j'arrive à calculer AARBA_{ARB}; j'ai la hauteur mais ça vourait dire que j'implique b dans l'expression et ça peut être gênant. AH ! Mais b = RK et RK on l'a exprimé... RK= (2-a)/2= ax/2. Bon, je crois avoir trouvé la méthode pour trouver l'aire de BRM. Je vais calculer ça.
    Maintenant pour ARD: j'ai la hauteur (qui est en fait a) et j'ai AD.

    Mon raisonnement est-il correct ? Puis-je m'engager dans ces calculs ?


  • Modérateurs

    Et en appliquant :
    Aire d'un triangle = base x hauteur/2



  • J'ai fait les calculs, je trouve la fonction recherchée. EN ce qui concerne la partie 3: pour déduire la position exacte de M sur [BC] pour laquelle la somme des aires de ARD et BRM est minimale, je dois reprendre mon ableau de variations de S(x) et regarder l'abscisse du minimum ? Et pour la valeur, je prends l'image, c'est bien cela ?

    Je trouve x= -1 + √2 et pour l'image:2√2 - 2. Je sais que vous ne pouvez peut-être pas vérifier car, à moins que vous ayez des astuces de prof que nous, élèves, ne connaissons pas, il faudrait que vous fassiez tout le préliminaire ^^ Autrement, j'ai vérifié à la calulatrice toute mon étude de fonction donc, normalement, mes valeurs sont justes;


 

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