Etudier le sens de variation d'une fonction

Bonjour, j'ai un exercice de maths un peu difficile, j'ai essayé de le faire, je vous donne l'énoncé & mes réponses. J'espère que vous pourrez si mes résultats sont justes ? merci d'avance!

On considère la fonction f définie sur [1; +∞ [par:
f(x)=(x-1)²-1.
On se propose d'étudier ses variations.

Première méthode: Règle sur les inégalités
Soit a et b deux réels de [1; + ∞ [ tels que a ≤ b.
Recopier et compléter les inégalités suivantes:
a≤b
donc: a-1 ... b-1
or a-1...0 et b-1...0 donc:
(a-1)²...(b-1)²
soit: (a-1)²-1...(b-1)²-1
d'où: f(a)...f(b)
On peut donc dire que la fonction f est... ... [1;+ ∞[

Pour la première méthode j'ai trouvé:
a≤b
donc: a-1≤ b-1
or a-1≥0 et b-1≥0 donc:
(a-1)²≤(b-1)²
soit: (a-1)²-1≤(b-1)²-1
d'où: f(a)≤f(b)
On peut donc dire que la fonction f est croissante sur [1;+ ∞[

Seconde méthode: utilisation de définition
Soit a et b deux réels de [1;+ ∞[ tels que a≤b
Montrer que f(b)-f(a)= (b-a)(a+b-2)
Recopier et compléter les inégalités suivantes:
comme a ≤ b alors b-a...0
comme a≥1
b≥1 alors que a+b..2 soit a+b-2...0
On en déduit que f(b)-f(a)...0
On peut donc dire que la fonction f est ... ... [1;+ ∞[.

J'ai trouvé:
comme a ≤ b alors b-a≥0
comme a≥1
b≥1 alors que a+b≥2 soit a+b-2≥0
On en déduit que f(b)-f(a)≥0
On peut donc dire que la fonction f est croissante sur [1;+ ∞[.

Bonjour,

C'est juste.

Mais je n'arrive pas à démontrer que f(b)-f(a)=(b-a)(a+b-2) ?

Calcule f(b) - f(a) à partir de l'expression de la fonction.