une fonction réciproque

Bonjour, je bloque sur cet exercice:

f est la fonction définie sur ]-1;1[ par : f(x)=1/2ln((1+x)/(1-x))
C est la courbe représentative dans un repère orthonormal.

1)a) Déterminer la fonction dérivée de f
Je trouve f'(x)= 1/(1-x)²
b) En déduire que f est strictement croissante sur l'interval
on à 1>0 et (1-x)²>0 d'ou f'>0 et donc f>0

2)a) En déduire les limites de f en -1 et en 1
Je ne comprend pas puisque en -1 ou en 1 on à ln(1-1) ce qui est impossible
b) En déduire l'existance d'asymptotes à la courbe C

3)a) Dresser le tableau de variation de f
je trouve f strictement croissante
b) Démontrer que le centre du repère est un centre de symétrie de C
Je ne vois pas comment faire
c)Construire la courbe C ainsi que la tangente à C au point d'abscisse 0

4)a) A partir de l'étude précédente, démontrer que pour tout réel y, l'équation f(x)=y admet une solution unique
Faut il utiliser le théorème de la bijection?
b)Exprimer, par le calcul, x en fonction de y
?
c) on note C' la courbe représentative de la fonction y(x). Expliquer pourquoi les courbes C et C' sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x
d) Tracer C' dans le même repère que C.

Pouvez vous m'aider svp?

Bonjour,

Vérifie le calcul de la dérivée.

Je détaille mon calcul
J'ai f(x) = 1/2ln(1+x)-1/2ln(1-x)

d'ou f'(x) = 1/2(1+x) - [-1/2(1-x)]
= 1/2(1+x) + 1/2(1-x)
= (1+x + 1-x)/2(1+x)(1-x)
= 2/(1+x)(1-x)
= 2/1-x²

Une erreur :
(1+x + 1-x)/2(1+x)(1-x)
n'est pas égal à 2/(1+x)(1-x)
mais à 2/2(1+x)(1-x)
= 1/(1-x)(1+x)

Ah oui merci donc la dérivée est 1/(1-x)²?

Non,

1/(1-x²)

Ok et pour les limites, il y a une forme indéterminée?

Pour les limites : lnx quand x tend vers 0+, tend vers .....
puis si x tend vers +∞, ....

quand x tend vers 0 ln(x) tend vers -∞
quand x tend vers +∞ ln(x) tend vers +∞

Mais on a pas lnx on a ln(1+(-)x), et les limites sont à chercher en -1 et 1.

Je voulais aussi demander pour la 4)a) c'est le théorème de la bijection qu'il faut appliquer?
Et pouvez vous m'aidez pour la 4)c) s'il vous plait

Merci

Si x tend vers 1, x+1 tend vers .... et x-1 tend vers ...
idem avec x tend vers -1

Ok donc les limites sont 1 et -1

Ok merci pour votre aide, je sais que je ne suis pas très douée quand il s'agit de limites.
Je voulais juste savoir pour la 4)b) si mon résultat est correct, je trouve $x=e^{2y}$ /2

Non, les limites ne sont pas 1 et -1

Si x tend vers 1-; (1+x)/(1-x) tend vers 2/0+ soit + ∞
Et si x tend vers +∞; lnx tend vers +∞, donc limite +∞
Si x tend vers -1 ; ......

pour le 4b :
$e^{2y}$ = (1+x)/(1-x) soit x = ....