Déterminer la probabilité d'avoir tout juste / faux dans un QCM

[Elow']

Bonjour à tous,
voici l'exercice que je n'arrive pas à comprendre :

Soit un QCM à 5 questions. Chaque question comporte une réponse juste et deux réponses fausses. L'élève répond au hasard.

Donner les probabilités "d'avoir tout juste", "d'avoir tout faux", "d'avoir au moins une réponse juste", "d'avoir au plus une réponse juste" et "d'avoir deux réponses juste".

J'ai d'abord cru que l'univers était 15, puisqu'on a 3 réponses possibles à chaque question, donc 3 x 5 = 15 possibilités.
Mais voilà, j'hésite avec 3 x 3 x 5 = 45 possibilités, puisque l'élève répond au hasard...Je bloque à cet endroit-là, ce qui m'empêche de poursuivre l'exercice

Merci d'avance pour votre aide.

[Noemi]

Bonjour,

La probabilité d'avoir juste à une question est 1/3, donc pour 5 questions .....

[Elow']

Donc, la probabilité d'avoir tout juste est de 5/15 (ou 1/3) ?

[Noemi]

Non,

$(1/3{)}^5$

[Elow']

L'univers serait alors 243 ?

[Noemi]

Oui, 243 grilles possibles.

[Elow']

Pourquoi l'univers n'est pas 45 ?
Je ne comprends pas pourquoi l'univers serait de 243

[Noemi]

Pourquoi 3×3x5 ??

[Elow']

Parce que (je vais vous faire un arbre de choix)
Q1 : Juste-faux-faux / Faux-Juste-Faux / Faux-Faux-Juste
Q2 : Juste-faux-faux / Faux-Juste-Faux / Faux-Faux-Juste
Q3 : Juste-faux-faux / Faux-Juste-Faux / Faux-Faux-Juste
Q4 : Juste-faux-faux / Faux-Juste-Faux / Faux-Faux-Juste
Q5 : Juste-faux-faux / Faux-Juste-Faux / Faux-Faux-Juste

On a ici 45 possibilités, non ?

[Noemi]

Chaque question à trois choix, A, B et C
Une réponse possible est 1A, 2A, 3A, 4A, 5A.

[Elow']

Donc, l'univers est $3^5$= 243

La probabilité "d'avoir tout juste" est 1/243
La probabilité "d'avoir tout faux" est 4/243
La probabilité "d'avoir au moins une réponse juste" est 1-(1/243 + 4/243) = 238/243
Est ce juste pour l'instant ?

[Noemi]

La première réponse est juste.
Deux possibilités fausses par question donc ?

[Elow']

Donc la probabilité "d'avoir tout faux" est 2/243 ?
Ce qui conduirait à la probabilité "d'avoir au moins une réponse juste" est 1 - 3/243 = 240/243 ?

[Noemi]

Non,

Deux possibilités fausses par question et 5 questions donc ...
la probabilité d'avoir faux à une question est 2/3, ...

[Elow']

La probabilité "d'avoir tout juste" est 1/243
La probabilité "d'avoir tout faux" est 32/243
La probabilité "d'avoir au moins une réponse juste" est 210/243 ?