problème de polygones réguliers



  • bonjour tout le monde, je viens de découvrir le forum et il m'a l'ai vraiment trés bien je trouve super que de gens passent leur temps libre à aider des gens comme moi qui ont des difficultés en math et justement j'en ai une trés dure surlaquelle je me fend le crane depuis une bonne semaine

    Soit A1,A2,....An un polygone régulier inscrit dans un cercle de centre O de rayon 1, si n=3 alors A1A2A3 est un triangle equilatérale si n=4 un carré si n=5 un pentagone régulier etc...

    a)on suppose n pair, etablir que O est centre de symétrie du polygone en deduire que ^\rightarrow u=^\rightarrow OA1+^\rightarrow OA2+......+^\rightarrow OAn = ^\rightarrow 0

    b) on suppose n impair montrer qu'alors tout diamètre passant par un des sommets du polygone est axe de symetrie du polygone.
    montrer que le vecteur u =^\rightarrow OA1+^\rightarrow OA2+.....+^\rightarrow OAn est colinéaire à ^\rightarrow OA1 comme à ^\rightarrow OA2 .... jusqu'à ^\rightarrow OAn en déduire la valeur de ^\rightarrow u

    conclure par une phrase l'etude precedente

    2)Soit ABCDE un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique de centre O
    a) quel est l'angle au centre d'où l'on voit un coté du pentagone

    b)a l'aide des resultats de la premiere partie etablir que

    2cos²4pipi/5+2cos2pipi/5+1=0 et donc que cos 2pipi/5 est solutions de 4X²+2X-1
    en deduire la vrais valeur de cos2pipi/5

    voilà ensuite il y a la construction du pentagone mais je ense pouvoir y arriver!

    bon pour tout vous dire je ne suis pas arrivé à grand chose j'arrive à peu prés au resultats au premiere mais ce n'est pas de vraie demonstration donc si vous puviez m'aider ça serait vraiment cool!
    merci à tous



  • bonjour tout le monde, moi non plus j'arrive pa à cet exercice est ce que vous pourriez essayer de le faire??
    merci



  • Il y a n triangles AA{n-1}OAnOA_n et chaque angle AA{n-1}OAnOA_n vaut 2pipi/n
    si n est pair alors n/2 angles donneront un angle plat donc chaque AiA_i est diamétralement opposé à un AjA_j
    Je pense que cela peut être une piste



  • oui c'est à peut prés ce que j'avais fait j'ai dit que un polygone regulier se transformer en lui même par la rotation de centre O et d'anle 2pipi/n et comme il y a n/2 angle
    2pipi/n multiplié par n/2 donne pipi
    donc on peut associer a chaque point un point diamétralement opposé ce qui serait facile ensuite de dire que ^\rightarrow u=^\rightarrow 0
    mais est ce vraiment une demonstration??
    ensuite je bloque pour la b), j'ai remarqué que tout point passant par un sommet du polygone coupe le coté opposé en son milieu donc c'est la médiatrice mais ça non plus je ne sais pas le demontrer...et le pire c'est demontrer que le vecteur u est colinéaire à A1, A2 comme à An
    ça je ne voit pas parce que le problème c'est qu'on demande aprés de dire que le vecteur u est egale au vecteur nul donc ca je n'ai rien trouvé!
    voilà merci



  • Pour la colinéarité de uu^\rightarrow on doit pouvoir utiliser que chaque diamètre est la médiatrice du côté opposé au point de départ (si on arrive à le montrer)
    Pour n=3 on aurait OA1OA_1 ^\rightarrow +OA2+OA_2 ^\rightarrow = 2OI2OI_3^\rightarrow avec I3I_3 milieu de [A1[A_1 A2A_2]
    et (OI3(OI_3 ) = (OA3(OA_3 ) etc ....
    Et en envisageant une récurence on doit y arriver ; mais c'est quand même un sujet de première !!!!



  • c'est sur que pour ici la recurrence est dure à faire ( je n'y arrive pas ) et sinon j'ai aussi beaucoup de mal à montrer que lorsque n est impair chaque diamùetre passant par un somet du polygone est mediatrice du coté opposé est ce que quelqu'un aurait une autre idée?



  • s'il vous plait aidez moi je n'y arrive pas j'ai chercher pendant trés longtemps j'ai avancé pour la a) j'ai reussi à tout demontrer d'une facon qui me semble correcte!mais la b) je ne trouve vraiment pas surtout pour es histoire de colinéarité!s'il vous plait aidez moi donnez moi des idées c'est trés urgent!


  • Modérateurs

    Bon alors à mon tour,
    Pour le b) une récurrence ? Il me semble possible de démonter que pour toute droite (OAi) est bissectrice des angles AA{i-1}OA</em>i+1OA</em>{i+1} AA{i-2}OA</em>i+2OA</em>{i+2} etc. Il en découlera qu'elle est donc médiatrice de [A[A{i-1}OA</em>i+1OA</em>{i+1}] etc. Effectivement on peut faire un raisonnement par récurrence en bonne et due forme mais cela ne me parait pas indispensable (c'est sûr que çà fera plus sérieux).

    A suivre ...



  • d'accord ok je vais etudier cette piste

    😛 pour les oiseaux


  • Modérateurs

    Salut.

    La somme de deux vecteurs symétriques par rapport à une droite est égale à un vecteur colinéaire à cette droite non?

    Donc en utilisant la régularité de la figure et la médiatrice, tu dois pouvoir trouver le moyen de t'en sortir(je rappele qu'il fallait juste avant démontrer que la médiatrice était axe de symétrie).

    Remarque que le conseil sur la bissectrice te l'indiquais déjà.

    @+


  • Modérateurs

    Pour la somme des vecteurs :
    Quand n est pair, on peut les regrouper 2 à 2 et ils s'annulent 2 à 2 par symétrie.
    Quand n est impair, [OA2[OA_2] et [OAn[OA_n] sont les 2 côtés consécutifs d'un losange dont la somme est la diagonale, colinéaire à OAOA_1^\rightarrow . Idem pour les vecteurs suivants.
    Ce qui est pénible dans cet exercice c'est beaucoup de blabla et de rédaction et peu de bonnes vieilles propriétés qui s'appliquent. Là aussi une récurrence est possible mais je ne suis pas sûr que çà vaille vraiment le coup. C'est lourd. Je pencherais plutôt pour une rédaction du style : "de la même manière on démontrerait que ..."

    A suivre ...



  • Ne pas oublier que ce sujet a été posé en début de 1ère S et non en prépa !!!!

    Comment inciter benji007 à nous faire part de la correction de son prof quand il l'aura ?



  • ok merci beaucoup a thierry et jeet chris!vous m'avez à coup sur donné un serieux coup de main!


  • Modérateurs

    Salut.

    Lol! Ca n'était pas une question interrogative, mais rhétorique! ^^

    Je connais très bien le résultat, depuis le temps qu'on nous le ressasse en électromagnétisme en physique... 😆

    Bref. Je suis d'accord que la récurrence c'est pas marrant du tout. Et mon intervention allait bien bien sûr dans ton sens Thierry.

    @+


  • Modérateurs

    A oui j'oubliais : donc le vecteur somme est colinéaire à tout un tas de vecteurs non colinéaires entre eux donc il est nul. Tu trouveras bien une phrase de conclusion et je pense que l'application à n=5 devrait aller.
    Ben sinon tu sais où demander 😉



  • pour le reste j'ai reussi à tout faire merci beaucoup


  • Modérateurs

    Zorro

    Comment inciter benji007 à nous faire part de la correction de son prof quand il l'aura ?benji007 tu pourras nous donner la correction quand tu l'auras ?
    Non j'ai eu meilleure idée : titor tu pourras nous donner la correction quand tu l'auras et que tu n'auras plus du tout la grippe ? 😆



  • oui promis je vous la fait passer!allez moi je vais faire la suite car c'est pour demain!
    merci encore à tous
    et c'est bizare que benji007 ne soit pas revenu arf tanpis pour lui!



  • Bonsoir ! j'ai pas tres bien compris pour n est impair ?
    et Aussi , pour le colinearité des vecteurs ?

    Car ^\rightarrowu = 0 ( ^\rightarrow u = somme des vecteurs de l'origine 0 au points du polygone : 0a1 + 0a2 + 0a3 + 0a4 + 0a5 = 0 )
    et ^\rightarrowOA = 1 donc ,
    Dire que 2 vecteurs sont colineaires , equivaut a dire qu'il y a un reél K tel que ^\rightarrowu = k^\rightarrowOA , donc k = 0
    car ^\rightarrowu = 0

    Est - ce juste ( si non expliquez moi svp ) et aussi expliquez moi pour n est impair car , je n'ai pas trop compris vos expliquations ( j'ai du mal a comprendre , excusez moi )

    Merci d'avance !

    edit/ Et aussi ça , je ne comprend pas :
    Citation
    b)a l'aide des resultats de la premiere partie etablir que
    2cos²4/5+2cos2/5+1=0


  • Modérateurs

    Salut Julie (de Paris),
    Vous êtes tous dans la même classe tous ?

    Bon, tu dois savoir que la somme de vecteurs de même origine est la diagonale d'un parallélogramme, OK ? Je me suis contenté de donner l'idée. Je te laisse faire une bonne rédaction disant que [OA2] et [OAn] sont les côtés d'un triangle isocèle dont (OA1) est la bissectrice, donc aussi la médiatrice, donc la diagonale d'un losange, etc. (Je réédite le post de 21:59 qui comportait une erreur de frappe).

    Pour l'égalité trigonométrique, je pense qu'il suffit de projeter les vecteurs dont la somme est nulle sur les axes d'un repère orthonormal dans le cercle. Puis il faudra se débrouiller avec les relations trogonométriques notamment cos2a (qui fait apparaître les carrés : mais j'ai l'impression qu'il y a une faute de frappe dans l'équation, titor va peut-être passer nous le confirmer).

    Bonne rédaction 😉


  • Modérateurs

    J'ajoute une précision. Ce que tu as démontré pour [OA2] et [OAn], te le démontrerais de-même pour [OA3] et [OAn-1], etc.



  • Oki merci Thierry , je ne suis pas dans la classe benj007 .
    Donc je vais essayer de le faire pour n impair.
    L'egaliter c'est :
    Citation
    2(cos4pipi)/5 + 2(cos2pipi/5 + 1 = 0
    si vous pouvez m"aider sa serai gentil .
    Merci !


  • Modérateurs

    Bouh ... tes parenthèses ....
    Comme je te l'ai dit, projette les 5 vecteurs sur les axes d'un repère (O,i^\rightarrow,j^\rightarrow). Je pense que tu arriveras à choisir le bon repère, il y en a plusieurs possibles.
    Alors tu obtiens quelque chose comme:
    Somme des vecteurs=(Somme des x)i^\rightarrow+(Somme des y)j^\rightarrow
    Les x et les y se calculent avec un peu de trigonométrie.
    Somme des vecteurs = O^\rightarrow donc Somme des x=O et Somme des y=0.
    L'une de ces 2 égalités te donne l'égalité demandée.
    A+



  • oki merci je vais y reflechir 🙂


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