Démontrer qu'un triangle est rectangle / équilatéral dans le plan complexe

Je dois faire un exercice sur les nombres complexes :

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal . On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π/2.

1° Soit a=√3/4 (1 + i√3), b le nombre complexe de module 1 et d'argument π/6, c le conjugué de b.
Ecrire b et c sous la forme x + iy avec x et y réels.

2°Déterminer le module de chacun des nombres complexes a,c,a-b,b-c.

3° On désigne par A,B et C les points du plan complexe d'affixes respective a,b,c.
a) Placer les points A,B, et C dans le repère orthonormal
b) Démontrer que le triangle OBC est équilatéral.
c) Démontrer que le triangle OAB est rectangle .

Réponse :

Pour le 1° j'ai fais cela :

b= [1;π/6]
b(1cos π/6 + i x 1 sin π/6 )
(1 x √3/2 + 1i x 1/2 )
(√3/2 + 1/2 i )

C est le conjugué de b donc c = (√3/2 -1/2 i)

Pour le 2° :

Za= √3/2 ( 1 + i√3)

mettre sous forme algébrique :

Za= √3/4 ( 1 + i√3)
= √3 + 3i / 4

Je doit maintenant calculer le module mais je suis coincer .
Merci de m'aidez .

Bonjour,

Quelle est la formule pour calculer le module ?

C'est sa non :

Za : √( √3 + 3i /4 )²

Non

z = a+bi a pour module √(a²+b²)

√(√3² + 3i² / 4 )

Pour a
a=√3/4 (1 + i√3)
module de a = √3/4 ×(√(1+3) = √3/2

c=(√3/2 -1/2 i)
module de c = √(√3/2² -1/2²)
c'est sa ?

c=(√3/2 -1/2 i)
module de c = √((√3/2)² +(-1/2)²)

= √ (3/4) + (-1/4)

√2/4 = √1/2
module de c = √1/2

√2/4 = √1/2
module de c = √1/2

Non,

c=(√3/2 -1/2 i)
module de c = √((√3/2)² +(-1/2)²)
=√(3/4 + 1/4) = √(4/4)
= 1

ah dacord je me suis tromper dans les signes .
Ensuite le nombre complexes a-b = √3/4 ( 1 + i√3 ) - (√3/2 + 1/2i)
le module de a-b = √3/2 Pour a vue qu'on la deja calculer son module
ce qui fait a-b = √3/2 - √((√3/2)² + 1/2i²)

Non,

Ecris a -b sous la forme x + iy

le module de b = 1 vue que c est son conjugué
donc le module de a-b = √3/2 - 1

Dacord ceut qui me donne
a-b = √3/4 ( 1+i√3) - (√3/2 + 1/2i)

Développe et isole la partie réelle et la partie imaginaire.

=√3/4 + 3/4 i - (√3/2 + 1/2 i)
=3/8 + √3/8 i -3√3i/8 + 3i²/8
= 3/8 + -6/8i + 3i²/8

Non

a-b = √3/4 ( 1+i√3) - (√3/2 + 1/2i)
= √3/4 + 3i/4 - √3/2 - 1i/2
= (√3/4 -√3/2) + (3/4 - 1/2)i simplifie
= ....

(√3/4-√6/4) + (3/4 - 2/4) i
=(√3-√6/4) + (1/4)i

(√3/4 -√3/2) + (3/4 - 1/2)i
= (√3/4 - 2√3/4) + (3/4 - 2/4)i
= -√3/4 +1/4i

Calcule le module.

Calcul du module a-b
√(-√3/4)² + 1/4²
=√(-3/16 + 1/16 )
=√-2/16 = √-1/8

Un carré est toujours positif
√((-√3/4)² + 1/4²)
= √(3/16 + 1/16)
= √(4/16)
= ....

√(1/4)

Oui, soit 1/2

pour b-c cela donne :
(√3/2 + 1/2 i) - (√3/2 - 1/2i)
= √3/2 + 1/2i -√3/2 + 1/2i
=1/2i + 1/2i
= 2/2i

Oui si tu simplifies cela donne = i

et le module de b-c :
√i²
=√1²
=1 ?

c'est √1² = 1

Daccord et pour le 3°a)

On me donne de placer a , b et c dans un repère orthonormal
donc j'ai :
a=√3/2 qui est sur l'abscisse et (1 + i√3) qui est sur l'axe des ordonné.
b= √3/2 qui est sur l'axe des abscisses et 1/2 i qui est sur l'axe des ordonnée.
c=√3/2 qui est sur l'axe des abscisses et -1/2 qui est sur l'axe des ordonné.

pour a c'est A (√3/4; 3/4)

Mais quand par exemple je calcule √3/2 sa me donne 1.2 donc sur mn repère je prend 1.2 cm sur l'axe des abscisse ?

√3/2 = 0,866 ; soit 0,9 sur le repère

cela n'est pas trop petit :s ou je prend 1cm=0.1

Oui, 1cm pour 0,1

Dacord c'est bon j'ai placer les 3 points et construit le triangle rectangle et équilateral .
sa me donne bien OB=BC=OC ceux qui me donne un triangle équilateral
et le triangle OAB est bien rectangle en A .
Je dois démontrer où je dit simplement ceut que je viens de vous dire ?

Tu dois le démontrer.

comment ? je dois calculer l'argument non ?

Tu peux utiliser les modules.
calcule les longueurs des côtés.

Daccord merci de m'avoir aidez .
Aurevoir

Démontrer qu'un triangle est rectangle / équilatéral dans le plan complexe

c=(√3/2 -1/2 i) module de c = √((√3/2)² +(-1/2)²)

c=(√3/2 -1/2 i)
module de c = √((√3/2)² +(-1/2)²)