Etudier les solutions d'un trinômes du second degré paramétrique

[drecou]

Bonjour, je souhaiterai de l'aide sur un exercice que j'ai eu à un controle avant les vacances et que je n'ai pas reussi à faire; j'aimerai connaitre les méthodes à utiliser pour résoudre un tel exercice:
f(x)=x²+px+q et g(x)=x²+p'x+q'

1.Démontrer que si ces trinomes ont une racine commune (gamma), cette racine vérifie f(x)=g(x). En déduire que si p diff/ p' ces deux trinomes ont une racine commune si, et seulement si, R=0 avec: R=(q-q')²+(p-p')(pq'-qp').Etudier le cas où p=p'.

2.Déterminer le paramètre réel m pour que les équations x²+2x+m-4=0 et x²+x-7m+1=0 ait une racine commune; dans chaque cas, trouver cette racine.

Merci de votre aide !

[Zauctore]

Salut.

Voici pour 1.
f(x) = g(x)
equiv/ x² + px + q = x² + p'x + q'
equiv/ px + q = p'x + q'
d'où x = (q' - q) / (p - p').
On remplace x par ceci dans f(x)
((q' - q) / (p - p'$){)}^2$ + p (q' - q) / (p - p') + q = 0
equiv/ (q' - q) ${}^2$ + p (q' - q) (p - p') + q (p - p'${)}^2$ = 0
equiv/ (q' - q) ${}^2$ + (p - p') (pq' - pq + qp - qp') = 0
equiv/ (q' - q) ${}^2$ + (p - p') (pq' - qp') = 0.

[drecou]

Merci bcp pour le 1, parce que enfait moi j'avais trouver x mais je n'avait pas compris qu'il falait remplacer dans f(x).
pour le 2 il faut procéder de la même façon c'est ça ? :
x²+2x+m-4=x²+x-7m+1
equiv/ x+8m-5=0
donc x=-8m+5 et on remplace dans les 2 equations:
(-8m+5)²+2(-8m+5)+m-4=0
equiv/ 64m²-80m+25-16m+10+m-4=0
equiv/ 64m²-95m+31=0
(delta)=9025-7936
(delta)=1089
(delta)=33²
donc m1=(95-33)/128=31/64 et m2=(95+33)/128=1 donc m=31/64 ou m=1
d'où : si m=1 : x²+2x-3=0 (delta)'=1+3=4 et x1=-1-2=-3 et x2=1
si m=31/64 : x²+(62/64)x+(31/64)-4=0
equiv/ 64x²+62x-225=0 etc... c bien ça ?

[Zauctore]

Pour le 1)
note qu'on aurait obtenu la même chose en remplaçant dans g(x).

Pour 2)
en appliquant directement le théorème (de la question 1)
$<strong>x^2$ + px + q = 0 et $x^2$ + p'x + q' = 0 ont une racine commune si,
et seulement si (q' - $q{)}^2$ + (p - p')(pq' - qp') = 0
on doit peut-être obtenir plus rapidement la solution (plus rapidement, c'est-à-dire sans tout refaire).