Intégrale, suites et factorielles.

Bonjour à tous,
je bloque sur la question 4) de l'énoncé qui suit (la phrase d'aide n'aboutit à rien, ou alors je bugg). Merci de bien vouloir m'aider .

Enoncé.

PS: Je l'ai scanné car cela fait deux fois que je le recopie en entier et qu'internet m'envoie un message d'interdiction à la fin. Merci de votre compréhension.

Pour ta question4)a) afin de majorer par 0 par de ta fonction de base :
$0≤t≤a0\leq t\leq a$
$0≤a−t≤a0\leq a-t\leq a$
Et de fils en aiguille tu arrive à :

$∫0a0,dt≤∫0a(a−t)nn!×et,dt≤∫0aann!×et,dt\int_{0}^{a}{0}, dt\leq \int_{0}^{a}{\frac{(a-t)^n}{n!}}\times e^t, dt\leq \int_{0}^{a}\frac{{a^n}}{n!}\times e^t, dt$

A toi de faire les liens au milieu et normalement en résolvant ces intégrales tu retrouves ton inéquation de l'énoncé!

Pour la suite indique ta réponse au b) , il faut que tu trouve l'entier n pour lequel :
U(n+1)>0 (Sa ne doit pas être sorcier)
Puis à l'aide du quotient que tu a calculer arithmétiquement tu cherche le n répondant à l'inégalité :
U(n+1)/Un < 0.5
Tu prendras le plus grand N0!

Je n'ai peut être pas été clair dis le moi si c'est le cas

Merci Beaucoup Venx, cependant dans la b) si tu regardes bien on demande d'utiliser la partie entière .... comment ???
Et pour U(n+1)/Un je trouve a/(n+1)...

Le problème c'est que je trouve que pour que Un+1 soit >0 il faut que n>-2 et pour que Un+1/Un > 0.5 il faut n>2a-1 ... No= partie entière de 2a-1 (car No doit être un entier mais a est un réel : donc partie entière).
Primo ce résultat me parait louche, et secondo il me bloque le calcul suivant avec la démo par reccurence ... HELP

Alors tout d'abord ton N0 est bon partie entière on ne te la demande pas vraiment puisqu'elle dépend d'une variable a ou alors je n'ai pas trouver la solution mais sa ne t'empèche pas de faire la suite, tu viens de prouver que pour tout n>n0 on a :
<img style="vertical-align:middle;" alt="0

A partir de la prouver que 0
n0 est pas très compliquer.
Tu sais qu'au rang supérieur à N0 (n0+1) sa sera vérifier, si ta fonction croîtalors ce dernier sera toujours vraie pour tout n>n0. Je te laisse le prouver (Un+1>Un)
[Petite astuce sert toi du quotient que tu as calculer même avec a tu doit trouver le résultat]

La partie de gauche est vérifier maintenant reste l'autre partie :
$un≤un0×12(a−n0)u_{n}\leq u_{n0}\times \frac{1}{2}^{(a-n0)}$

Tu commence t'as récurrence ... pour tout k .......
Tu pose ton Hypothèse de récurrence et c'est partie (je le ferais avec n mais à toi de jouer) :
tu sais que :
$un≤un0×12(a−n0)u_{n}\leq u_{n0}\times \frac{1}{2}^{(a-n0)}$

tu veux obtenir U(n+1) or tu a vu au dessus que pour n>n0 qui est notre cas on a :
$un+1≤1/2unu_{n+1}\leq 1/2u_{n}$
Donc on va multipluier par 1/2 on aura donc une nouvelle inéquation mais avec 3 branche soit :
$u_{n+1}\leq 1/2u_{n}\leq 1/2*u_{n0}\times \frac{1}{2}^{(\mathbf{n}-n0)} \$

Venx

Après tu peux sipmplifier la partie de droite et il te reste encore une opération afin de trouver ton inégalité qui devrait être :
$un+1≤un0+1×12(a−n0+1)u_{n+1}\leq u_{n0+1}\times \frac{1}{2}^{(a-n0+1)}$
(Pour cela du devra utiliser la croissance et préciser que U(n+2)>U(n+1) tu verras lors du dernier calcul)
(Autre indice : $un0+1×12(a−n0+1)=1/2∗un0+1×12(a−n0)u_{n0+1}\times \frac{1}{2}^{(a-n0+1)}= 1/2*u_{n0+1}\times \frac{1}{2}^{(a-n0)}$ )
Merci Venx, mais j'avoue que je comprends pas cette partie de la réponse ... je vois pas commen t'as fait pour simplifier l'inégalité et ensuite je sais pas si t'as pris n+1 ou No+1 ... j'suis un peu perdu. Merci de ton aide !!

Ok,
tu sais comment on arrive à sa :
$un+1≤1/2un≤1/2un0×12(a−n0)u_{n+1}\leq 1/2u_{n}\leq 1/2u_{n0}\times \frac{1}{2}^{(a-n0)}$
or on sait que si n=N0 :
$un(o+1)≤1/2un0u_{n(o+1)}\leq 1/2u_{n0}$
Tu as donc :
$un+1≤1/2un≤un(o+1)×12(a−n0)≤1/2∗un0×12(a−n0)u_{n+1}\leq 1/2u_{n}\leq u_{n(o+1)}\times \frac{1}{2}^{(a-n0)}\leq 1/2*u_{n0}\times \frac{1}{2}^{(a-n0)}$
On ne peut garder qu eles deux membres qui nous intéresse pour la suite soit :
$un+1≤un(o+1)×12(a−n0)u_{n+1}\leq u_{n(o+1)}\times \frac{1}{2}^{(a-n0)}$

Une fois la tu remultiplies par un demi pour obtenir ta puissance 1/2^a-n(o+1), tu as donc :
$1/2un+1≤1/2un0+1×12(a−n0)1/2u_{n+1}\leq 1/2u_{n0+1}\times \frac{1}{2}^{(a-n0)}$
Tu te resserre comme sur la première étape de la formule vu au dessus et tu obtient donc :
$un+2≤1/2∗un+1≤un0+1×12(a−n(o+1))u_{n+2}\leq 1/2*u_{n+1}\leq u_{n0+1}\times \frac{1}{2}^{(a-n(o+1))}$
Tu la simplifie en enlevant la partie du milieu,
il te reste à prouver la croissance pour n>N0 que tu a déjà du faire ainsi:
$un+1≤un+2u_{n+1}\leq u_{n+2}$

Et voila mis bout a bout c'est ton inégalité que tu cherche, j'espère avoir été clair et si tu ne comprend pas fait moi signe car la rédaction n'a jamais été un de mes points fort XD

*\Réponse fausse suite à une erreur de compréhension, Raisonnement inutile*\

Venx
Tu te resserre comme sur la première étape de la formule vu au dessus et tu obtient donc :
$un+2≤1/2∗un+1≤un0+1×12(a−n(o+1))u_{n+2}\leq 1/2*u_{n+1}\leq u_{n0+1}\times \frac{1}{2}^{(a-n(o+1))}$
Tu la simplifie en enlevant la partie du milieu,
il te reste à prouver la croissance pour n>N0 que tu a déjà du faire ainsi:
$un+1≤un+2u_{n+1}\leq u_{n+2}$

LOL j'suis vraiment désolé mais j'avoue que je comprends pas où tu veux en venir ?! il suffit normalement de montrer que $\leq uno+1 (1/2)^{n-no+1}$ , non ? si j'ai raison je ne vois vraiment pas comment y aboutir par ta méthode ...

*\Supprimée*\

Je viens de voir que j'ai fait une erreur bête tu ne doit pas obtenir :
$un+1un+1%20\leq%20uno%20(1/2)^{n-no+1}$
Mais bien :
$un+1un+1%20\leq%20uno%20(1/2)^{(n+1)-(no)}$
Car ne voyant pas la variable dans la seconde partie j'était partie sur n(o+1) mais avec le a qui disparait cela change l'inéquation !
Donc cela tu peux y arriver simplement à partir de cette opération :
$un+1≤u_{n+1}\leq%201/2u_{n}\leq%201/2u_{n0}\times%20\frac{1}{2}^{(n-n0)}$

PS: excuse moi de ces erreur mais sur le poly je lisais a et non n reprend les calculs avant cette date qui sont juste , 25.08.2010, 12:09 et remplace a par n et la suite des calculs est la normalement c'est bon si tu veux que je récapitule tout dis le moi

Oui j'avais remarqué et corrigé
Cependant je ne comprends toujours pas pourquoi tu utilises Un+2, et où est passé Uno+2 ??? j'me sens honteux de dire ça, tu m'en verras désolé, mais je ne suis pas du tout ton raisonnement ( à la fin) ...

Venx
tu veux obtenir U(n+1) or tu a vu au dessus que pour n>n0 qui est notre cas on a :
$un+1≤1/2unu_{n+1}\leq 1/2u_{n}$
Donc on va multipluier par 1/2 on aura donc une nouvelle inéquation mais avec 3 branche soit :
$u_{n+1}\leq 1/2u_{n}\leq 1/2*u_{n0}\times \frac{1}{2}^{(\mathbf{n}-n0)} \$

Ok super j'ai choppé le fil, merci sincèrement Venx ! Tu m'as été d'un grand secours ^^'
A+ pour un nouveau problème...