1ere produit scalaire

bonjours à tous

ABCD est un carré de coté a ; I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC] : les droites (AJ) et (IC) se coupent en K
On note O l'angle géométrique JKC

caculer les produit scalaire vecAJ.vecIB et vec AJ.vec BC

en déduire vecAJ.vecIC

2 calculer la valeur exacte des longueurs AJ et IC

3 déterminer la valeur exacte de cos O .

alors pour la premiere je pense

vecAJ.vecIB = AJ ² * (a/2)² * cos (O)
vecAJ .vecBC = AJ² * a² * cos (O)

après je ne sais plus je ne comprends pas je ne comprend rien au produit scalaire
merci d'avance

Bonjour,
Tes formules sont fausses : il faut revoir les définitions.
Il y a plusieurs façons de définir le produit scalaire de deux vecteurs.
L'une d'elles dit que le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit scalaire du premier par le projeté orthogonal du second sur le premier.
Tu peux utiliser cette propriété pour répondre à la première question.

$fichier math$

Vect(AB).vect(AC)=vect(AB).vect(AH)

je ne comprend toujours pas cette propriété ,
mais peut etre que cette réponse est bonne :

je calcule AJ grace a pythagore
donc je trouve AJ= 3a/2 : cest ça ?

et donc vecAJ.vecIB = 1/2 [( 3a/2+a/2)² -(3a/2)² -(a/2)² ]
= 1/2 (16a²/4 - 10a²/4
= 1/2 ( 6a²/4)
= 6a²/4 * 1/2
= 3a²/4

c'est ça

Tu poses plusieurs questions.
Je réponds d'abord à la première.
Regarde le dessin :
AH est le projeté orthogonal de AC sur AB.
On a : AB.AC = AB.(AH+HC) = AB.AH + AB.HC ( il s'agit des vecteurs ).
Or AB.HC = 0 car (HC) est perpendiculaire à (AB).
Il reste donc AB.AC = AB.AH qui est la traduction de la propriété citée.
Est-ce que tu comprends cela ?

Je dois me déconnecter.
A plus tard si personne d'autre n'a pu t'aider entre temps.

oui j'ai compris cela mais je ne vois pas la rapport avec mon enoncé puisque AJ et IC ne sont pas des hauteur sur le dessin ....

Tu veux calculer vectIB.vectAJ : cherche les angles droits ( hauteurs ou pas c'est sans importance ).
Quel est le projeté orthogonal de vectAJ sur la droite (IB) ?
A se projette en A, et J se projette en ...?

ben J est le milieu de BC et c'est la droite (AJ) donc J se projette en A ?

Non : (JB) est orthogonal à (AB) , donc J se projette orthogonalement en B sur la droite (AB)

a oui j'ai compris mais quand c'est le cas de vec AJ . vec BC : sa bloque encore je ne vois pas du tout le projeté dans ce cas

Pose-toi deux questions : qui va-t-on projeter ? et sur quoi ?
Ici, il faut projeter AJ sur (BC).
A se projette en ??
Et J se projette en ???

alors A se projette en B et J je ne sais pas en quoi il se projette ...

J est déjà sur la droite (BC) : il se projette donc en lui-même .

ah donc sa fait vecBJ.vecBC ?

Oui.

alors AJ.IB = AIxAB = a*(a/2) = a² /2
AJ.BC = BJxBC = a*(a/2)= a²/2

est ce cela ?

C'est ça !
Il ne te reste plus qu'à faire la déduction en utilisant Chasles.

et apres comment je calcule la valeur exacte des longeur AJ et IC ?

Avec le théorème de Pythagore.

mais je tombe sur des a alors que je doit tomber sur des chiffres non ?

a est un
nombrepositif. Tu obtiens évidemment les résultats en fonction de a.
Si on te demande les valeurs exactes, cela signifie qu'on refuse des valeurs approchées.
Par exemple, si tu trouves a.√2 ( valeur exacte ) , tu ne dois pas remplacer √2 par 1,414 ou tout autre valeur approchée.

PS : tu obtiens des "a" pour AJ et IC, mais tu obtiendras une valeur "numérique" pour le cosinus.

alors : AJ² = AB² + BJ²
= a² + (a/2) ²
= a² + a²/4

AJ = a + a/2
AJ = 3a/2

???

Citation
alors : AJ² = AB² + BJ²
= a² + (a/2) ²
= a² + a²/4
Jusque là tout va bien.
Mais ensuite tu commets une faute grave : la racine carrée d'une somme
n'est pasla somme des racines carrées.
Tu dois calculer AJ²= a² + a²/4 en réduisant au même dénominateur, puis ensuite prendre la racine carrée du résultat.

alors AJ = ((V5)/2 ) a

Oui.
Tu peux maintenant calculer cos O.

le problème est que cos O = cos CKJ
mais CKJ n'est pas un triangle rectangle ...

Aucune importance. Il faut ici appliquer une des définitions du produit scalaire : celle qui fait intervenir le cosinus de l'angle des deux vecteurs.

alors on fait cos O = AJ.IC / AJ x IC

= a² / (5/4 ) a²
= 4/5 a^4

???

a² est
divisépar a², pas multiplié.
Tu obtiens donc cos O = 1/(5/4) = 4/5, valeur numérique simple.

donc je tape sur ma calculatrice arccos ( 4/5) = 36,9 °

:=)

On te demande la valeur exacte du cosinus, pas celle de l'angle.
La réponse finale me semble donc être : cos O = 4/5.
Mais tu peux évidemment rajouter : donc O ≈ 36,9° ( et surtout pas " =" cette fois car il s'agit là d'une valeur approchée ).

oui vous aviez raison mais il me demande aussi d'en déduire aussi une valeur approchée que je n'avais pas marqué dans l'énoncé de départ
je voulais vous remercier mathous de m'avoir aider car vraiment le produit scalaire ce n'est pas mon truc

Retiens bien la propriété que je t'ai rappelée au début, et la façon de l'utiliser.
Il y a sur mon site un article sur le produit scalaire, mais c'est dans l'espace et pas seulement dans le plan.
Cela pourra peut-être t'aider plus tard.
Bon courage.