1ere produit scalaire
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Llaeti13 dernière édition par
bonjours à tous
ABCD est un carré de coté a ; I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC] : les droites (AJ) et (IC) se coupent en K
On note O l'angle géométrique JKC- caculer les produit scalaire vecAJ.vecIB et vec AJ.vec BC
en déduire vecAJ.vecIC
2 calculer la valeur exacte des longueurs AJ et IC
3 déterminer la valeur exacte de cos O .
alors pour la premiere je pense
vecAJ.vecIB = AJ ² * (a/2)² * cos (O)
vecAJ .vecBC = AJ² * a² * cos (O)après je ne sais plus je ne comprends pas je ne comprend rien au produit scalaire
merci d'avance
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Mmathtous dernière édition par
Bonjour,
Tes formules sont fausses : il faut revoir les définitions.
Il y a plusieurs façons de définir le produit scalaire de deux vecteurs.
L'une d'elles dit que le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit scalaire du premier par le projeté orthogonal du second sur le premier.
Tu peux utiliser cette propriété pour répondre à la première question.
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Mmathtous dernière édition par
Vect(AB).vect(AC)=vect(AB).vect(AH)
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Llaeti13 dernière édition par
je ne comprend toujours pas cette propriété ,
mais peut etre que cette réponse est bonne :je calcule AJ grace a pythagore
donc je trouve AJ= 3a/2 : cest ça ?et donc vecAJ.vecIB = 1/2 [( 3a/2+a/2)² -(3a/2)² -(a/2)² ]
= 1/2 (16a²/4 - 10a²/4
= 1/2 ( 6a²/4)
= 6a²/4 * 1/2
= 3a²/4c'est ça
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Mmathtous dernière édition par
Tu poses plusieurs questions.
Je réponds d'abord à la première.
Regarde le dessin :
AH est le projeté orthogonal de AC sur AB.
On a : AB.AC = AB.(AH+HC) = AB.AH + AB.HC ( il s'agit des vecteurs ).
Or AB.HC = 0 car (HC) est perpendiculaire à (AB).
Il reste donc AB.AC = AB.AH qui est la traduction de la propriété citée.
Est-ce que tu comprends cela ?
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Mmathtous dernière édition par
Je dois me déconnecter.
A plus tard si personne d'autre n'a pu t'aider entre temps.
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Llaeti13 dernière édition par
oui j'ai compris cela mais je ne vois pas la rapport avec mon enoncé puisque AJ et IC ne sont pas des hauteur sur le dessin ....
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Mmathtous dernière édition par
Tu veux calculer vectIB.vectAJ : cherche les angles droits ( hauteurs ou pas c'est sans importance ).
Quel est le projeté orthogonal de vectAJ sur la droite (IB) ?
A se projette en A, et J se projette en ...?
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Llaeti13 dernière édition par
ben J est le milieu de BC et c'est la droite (AJ) donc J se projette en A ?
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Mmathtous dernière édition par
Non : (JB) est orthogonal à (AB) , donc J se projette orthogonalement en B sur la droite (AB)
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Llaeti13 dernière édition par
a oui j'ai compris mais quand c'est le cas de vec AJ . vec BC : sa bloque encore je ne vois pas du tout le projeté dans ce cas
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Mmathtous dernière édition par
Pose-toi deux questions : qui va-t-on projeter ? et sur quoi ?
Ici, il faut projeter AJ sur (BC).
A se projette en ??
Et J se projette en ???
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Llaeti13 dernière édition par
alors A se projette en B et J je ne sais pas en quoi il se projette ...
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Mmathtous dernière édition par
J est déjà sur la droite (BC) : il se projette donc en lui-même .
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Llaeti13 dernière édition par
ah donc sa fait vecBJ.vecBC ?
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Mmathtous dernière édition par
Oui.
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Llaeti13 dernière édition par
alors AJ.IB = AIxAB = a*(a/2) = a² /2
AJ.BC = BJxBC = a*(a/2)= a²/2est ce cela ?
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C'est ça !
Il ne te reste plus qu'à faire la déduction en utilisant Chasles.
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Llaeti13 dernière édition par
et apres comment je calcule la valeur exacte des longeur AJ et IC ?
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Mmathtous dernière édition par
Avec le théorème de Pythagore.
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Llaeti13 dernière édition par
mais je tombe sur des a alors que je doit tomber sur des chiffres non ?
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Mmathtous dernière édition par
a est un
nombrepositif. Tu obtiens évidemment les résultats en fonction de a.
Si on te demande les valeurs exactes, cela signifie qu'on refuse des valeurs approchées.
Par exemple, si tu trouves a.√2 ( valeur exacte ) , tu ne dois pas remplacer √2 par 1,414 ou tout autre valeur approchée.
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Mmathtous dernière édition par
PS : tu obtiens des "a" pour AJ et IC, mais tu obtiendras une valeur "numérique" pour le cosinus.
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Llaeti13 dernière édition par
alors : AJ² = AB² + BJ²
= a² + (a/2) ²
= a² + a²/4AJ = a + a/2
AJ = 3a/2???
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Mmathtous dernière édition par
Citation
alors : AJ² = AB² + BJ²
= a² + (a/2) ²
= a² + a²/4
Jusque là tout va bien.
Mais ensuite tu commets une faute grave : la racine carrée d'une somme
n'est pasla somme des racines carrées.
Tu dois calculer AJ²= a² + a²/4 en réduisant au même dénominateur, puis ensuite prendre la racine carrée du résultat.
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Llaeti13 dernière édition par
alors AJ = ((V5)/2 ) a
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Mmathtous dernière édition par
Oui.
Tu peux maintenant calculer cos O.
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Llaeti13 dernière édition par
le problème est que cos O = cos CKJ
mais CKJ n'est pas un triangle rectangle ...
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Mmathtous dernière édition par
Aucune importance. Il faut ici appliquer une des définitions du produit scalaire : celle qui fait intervenir le cosinus de l'angle des deux vecteurs.
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Llaeti13 dernière édition par
alors on fait cos O = AJ.IC / AJ x IC
= a² / (5/4 ) a²
= 4/5 a^4???
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Mmathtous dernière édition par
a² est
divisépar a², pas multiplié.
Tu obtiens donc cos O = 1/(5/4) = 4/5, valeur numérique simple.
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Llaeti13 dernière édition par
donc je tape sur ma calculatrice arccos ( 4/5) = 36,9 °
:=)
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Mmathtous dernière édition par
On te demande la valeur exacte du cosinus, pas celle de l'angle.
La réponse finale me semble donc être : cos O = 4/5.
Mais tu peux évidemment rajouter : donc O ≈ 36,9° ( et surtout pas " =" cette fois car il s'agit là d'une valeur approchée ).
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Llaeti13 dernière édition par
oui vous aviez raison mais il me demande aussi d'en déduire aussi une valeur approchée que je n'avais pas marqué dans l'énoncé de départ
je voulais vous remercier mathous de m'avoir aider car vraiment le produit scalaire ce n'est pas mon truc
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Mmathtous dernière édition par
Retiens bien la propriété que je t'ai rappelée au début, et la façon de l'utiliser.
Il y a sur mon site un article sur le produit scalaire, mais c'est dans l'espace et pas seulement dans le plan.
Cela pourra peut-être t'aider plus tard.
Bon courage.