Dérivées, ensemble de définition et de dérivabilité

Bonjour à tous,

Voila j'ai un exercice où je dois calculer les dérivées des fonctions proposées. Pour cela j'utilise les dérivées de fonctions usuelles et les règles opératoires. Mais ensuite je dois préciser leurs ensembles de définition et de dérivabilité.

La première fonction est f(x)=5x^4 - 3x^3 + 2x - 5 donc je pense que l'ensemble de definition est Df=R idem pour sa dérivée f'(x)= 20x^3 - 9x^2 + 2 Df'=R

Pour la seconde g(x)= (3x^2 +2)cos(X) je dirais également Dg=R idem pour sa dérivée ou j'ai trouvé g'(x)= 6x(-sin(x))

Mais je ne sais pas s'il faut démontrer et comment on trouve ces ensembles de définition et de dérivabilité.

J'ai une troisieme fonction h(x) = (x^2 +1) sur racine carré de (x) pour l'ensemble de définition de dirais Dh= )0;+infini( mais pour la dérivée je ne sais pas ou m'arreter dans le developpement de (u' x v - v' x u)/v^2 ni comment déterminer l'ensemble de dérivabilité...

Je vous remercie d'avance, j'aimerai vraiment comprendre.

Bonjour,

Pour la fonction g, utilise la dérivée de u x v.
Les domaines de définition sont justes.

Dois- je donner plus de justification pour les domaines de définition ?
Pour la fonction g :
g'(x)= u' x v + v' x u
avec : u(x) = (3x^2 +2) u'(x) = 6x
et v(x) = cos(x) v'(x) = -sin(x)

donc g'(x) = 6xcos(x) -sin(x)X(3x^2 +2)
= 6xcos(x)-(3x^2+2)sin(x)

Et Dg'= R
Est-ce bon ?

C'est juste.

Merci beaucoup. Donc je donne pas plus de précisions ?
Et pour h'(x) je ne sais pas où m'arreter dans le developpement ni trouver le domaine de définition...

Indique ton résultat pour h(x).
Pour le domaine de définition, tu te réfères à ton cours.

donc h(x) = (x^2+1)/racine carrée de x sur Df= )0;+infini(

h'(x) = (u' x v - u x v')/v^2

avec u(x) = x^2 + 1
u'(x) = 2x
v(x) = racine carrée de x
v'(x) = 1/2racine carrée de x

donc h'(x) = (2x X racine carrée de X - (x^2 + 1) X 1/2rc(x)) le tout sur (racine carrée de x)^2

h'(x) = [ (2xrc(x) x 2rc(x) - (x^2+1) ] / 2rc(x) le tout sur (rc(x))^2

*rc(x) = racine carrée de x

Pour x > 0
h'(x) = [ (2xrc(x) x 2rc(x) - (x^2+1) ] / 2rc(x) le tout sur (rc(x))^2
et rc(x) × rc(x) = (rc(x))^2 = x
que tu peux écrire
√x × √x = (√x)² = x
il reste à simplifier

h'(x) = (2xrc(x) x 2rc(x) - x^2 +1)/2xrc(x) ?

Attention au signe moins devant une parenthèse !!

Tu peux encore simplifier
h'(x) = (4x²-x²-1)/2x√x
= .....

h'(x) = (3x^2 - 1)/2x√x

et donc le domaine de definition est le meme que h(x) puisqu'on retrouve une racine carrée au dénominateur donc il faut x > 0 dh'= ]0;+infini[

C'est bien ca ?

C'est correct.

Merci beaucoup pour votre patiente. Bonne continuation