Disjonction des cas, récurrence, polynôme de lagrange

Bonjour, j'ai un exercice sur les techniques de raisonnement(Disjonction des cas, récurrence, équivalence). Cela fait maintenant plus d'une semaine que j'y travaille dessus régulièrement, mais je n'avance pas du tout...

On considère un polygone régulier à n côtés (n ≥3) noté A1 A2 A3...An.
Justifier que l'angle A1Â2A3 est égal à π(1-(2÷n))

2)Un polyèdre régulier convexe est un solide convexe de l'espace ( le solide est tout entier du même côté par rapport à n'importe lequel des plans de ses faces) dont les faces sont des polygones réguliers identiques et tels qu'en chaque sommet arrive le
même nombre de faces.
1.Donner deux exemples de polyèdres réguliers (Pyramide et Cube)
2. On désigne par s le nombre de sommets, a le nombre d'arêtes, f le nombre de faces d'un tel polyèdre et on admet que la relation s-a+f=2 est toujours vérifiée. Chaque face est un polygone régulier à n côtés (n≥3) et en chaque sommet arrivent p faces.
Justifier la relation

2÷f=n×((1÷p)-(1÷2))+1

Pour la 1) je ne sais pas si c'est juste mais comme la somme des angles dans un polygone c'est (n-2)×180 si on le met en radian ça fait π(n-2) et comme il y a autant d'angle que de côté on divise par n.

Mais pour la 2) je ne vois vraiment pas comment... :frowning2:

Pouvez vous m'aider? Merci d'avance!

Bonsoir,

Cherche une relation entre le nombre de sommets et de faces
puis entre le nombre d'arêtes et de faces.

Euh... Personne d'autres pourraient m'aider? Parce que là c'est page blanche pour l'instant. Quelqu'un pourrait au moins me mettre sur la voie s'il vous plait...

Bonjour,
Il existe exactement 5 polyèdres convexes et réguliers : les solides "platoniciens".
Regarde sur Internet, tu trouveras la liste.

mathtous
Bonjour,
Il existe exactement 5 polyèdres convexes et réguliers : les solides "platoniciens".
Regarde sur Internet, tu trouveras la liste.

Merci pour la réponse, mais je savais déjà qu'il y avait 5 polyèdre régulier et qu'il suffisait de chercher leurs propriétés (nombre arrête nombre face etc...) puis les appliquer pour vérifier la relation pour les 5 cas.

Mais le prof a dit que je ne devais pas utiliser cette méthode car il faut que je démontre après dans une autre question, qu' il existe que 5 polyèdres. .

Chaque arête sépare deux faces adjacentes.
Donc a arêtes séparent 2a faces
Si on fait cela pour les arêtes délimitant une face, on obtient toutes les faces mais chacune comptée n fois.
Donc f = 2a/n ( ou fn = 2a).
Démontre de même que ps = nf.

Merci beaucoup mathtous. J'ai compris!

De rien.