Démontrer un encadrement d'une suite et déduire sa limite

Bonsoir,
J'étais sur un exos de suite et je bloque sur la dernière question. Je pense que pour pouvoir répondre à cette question, il faut avoir lu tout l'énoncé.
Le voici :
On considère la suite $U_n$ ) définie, pour tout entier naturel n, par : Uo = 0 et
$U_{n+1}$ = √ $U_n$ + 2

1)Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 ≤ $U_n$ ≤ 2

2)Montrer que, pour tout entier naturel n,
$U_{n+1}$ -2 = $U_n$ - 2)/((√ $U_n$ + 2) + 2)

En déduire que, pour tout entier naturel n,
| $U_{n+1}$ - 2| ≤ (1/2) | $U_n$ - 2 |

3)Démontrer que, pour tout entier naturel n,
| $U_n$ - 2| ≤ $1/2)^{n-1}$

*En déduire la limite de la suite $U_n$

J'ai su faire toutes les démonstrations, mais je bloque à *la déduction
Si quelqu'un pouvez me donner l'idée

Merci d'avance

Bonsoir

Quelle est la limite de 0,5^n ?

Donc celle de 0,5^{n-1} ?

Et que peux-tu alors en déduire pour la limite de U_n - 2 ?

la limite de 0.5^n est de -inf quand n tend vers + inf et est de -inf quand n tend vers - inf
donc lim de 0.5^(n-1 ) est aussi de - inf quand n tend vers + inf et est de +inf quand n tend vers - inf

par conséquent $U_n$ - 2 étant + petit que 0.5^(n-1):
la lim de $U_n$ - 2 est de -inf quand n tend vers + inf et est de -inf quand n tend vers - inf

est-ce juste ?
Merci d'avance

il y a une absurdité dans ce que tu écris : n est un nombre entier naturel (donc positif) ; en conséquence 0,5^n ne peut pas être négatif.

fais des essais numériques pour te convaincre que la limite de cette quantité n'est pas ce que tu dis.

ah oui désolé !
dans ce cas :
la limite de 0.5^n est de -inf quand n tend vers + inf
donc lim de 0.5^(n-1 ) est aussi de - inf quand n tend vers + inf

par conséquent Un - 2 étant + petit que 0.5^(n-1):
la lim de Un - 2 est de -inf quand n tend vers + inf

Est-ce correcte ?
Merci d'avance

Bonsoir,

Ce n'est pas correct,

Indique comment tu trouves - ∞ (un nombre négatif !!).

Et bien je remplace n par +inf dans 0.5^n et je trouve des nombres de plus en plus petit,...

Comment pouvez vous me corriger ?
merci d'avance

Exact, un nombre de plus en plus petit mais qui tend vers 0.
si n = 1 ; $1/2)^{n-1}$ = 1
si n = 2 ; (1/2)
si n = 3 ; $1/2)^2$ = 0,25
....

Donc la lim de $U_n$ - 2 est bien de 0 quand x tend vers +inf
Est-ce juste ?
Merci d'avance

Oui,
Donc la limite de Un est ....

la limite de Un est donc de 0 ?

Non
$U_n$ -2 tend vers 0
donc
$U_n$ tend vers ....

Un tend vers 2 ?

Oui, c'est juste.

quand vous dites oui pour tend vers 2 ça veut bien dire que la lim de Un quand x tend vers + inf est de 2 ?

Oui,

la limite de $U_n$ quand n tend vers +∞ est 2.

Merci beaucoup Noemi pour toute ton aide !!
Bonne soirée