DM - Aires de triangles en fonction de x

Voilà bonjour à tous, j'ai un exercice de mon devoir maison que je n'arrive pas à faire :

ABCD est un rectangle tel que AB=1 et AD=2.
M est un point variable sur [DC] : on pose DM=x. Les droites (AM) et (DB) se coupent en I.
On désigne S(x) la somme des aires de triangles ABI et DIM.

Sur quel intervalle varie le nombre x ?
Calculer S(0) et S(1).
Démontrer que la hauteur Ik du triangle ABI est égale à 2/x+1.
En déduire que : S(x) = x²+1/x+1
Sur [0;1], représenter la courbe représentative de S à l'aide de votre calculatrice.
a) Donner alors une valeur approchée de x pour que S(x) soit minimale.
b) Que vaut alors cette aire minimale ?

Salut Jylo84,

Qu'as-tu fait pour le moment, as-tu quelques pistes pour les premières questions ?

Alors pour le moment, le 1. c'est bien : 0 ≤ x ≤ 1 ?
Ensuite pour le 2. il faut mettre sous la forme d'une fonction la somme des aires de triangles ABI et DIM mais je n'y arrive pas.

C'est ok pour le 1)
Pour le 2), tu n'as pas encore besoin de faire cela, on te demande juste les cas particuliers pour x=0 et x=1. Que vaut S dans ce cas-là ?

Alors je trouve que S(0) et S(1) sont tous les deux égales à 1. Mais comment je fais pour prouver que la hauteur du triangle ABI et la hauteur du triangle DIM sont toutes les deux égales à 1 pour le calcul ?

Personne ne peut m'aider SVP ?

SVP

Bonsoir,

Pour la hauteur du triangle, tu peux appliquer la propriété de Thalès.

Je n'y arrive pas avec le théorème de Thalès, je trouve que IK=2/x . Quelqun peut m'aider SVP je n'ai plus que demain pour finir cet exercice. :frowning2:

Indique tes calculs.

D'après le théorème de Thalès :

AI/AM = BI/BD = AB/DM = KI/KJ

AB/DM = 1/x

KI/KJ = KI/2

AB/DM = KI/KJ

Donc : KJ = (AB*KJ)/DM

KJ = (1*2)/x

KJ = 2/x

Ce n'est pas KI/KJ mais KI / IJ.

Donc KI/IJ = ? Comme KI et IJ sont tous les deux variables ?

Utilise Thales dans les triangles BKI et BAD.
Puis trace une parallèle à la droite (AM) passant par D, elle coupe la droite (AB) en E.
reprends Thales dans les triangles ABI et AED.

Alors je ne vois vraiment pas, pour démontrer quoi Thalès dans les triangles BKI et BAD.
J'ai tracé la parallèle à (AM) passant par D et elle ne coupe pas (AB) sauf si x=0.

Prolonge le segment [AB]

Cherche KI.

D'après Thalès :

BK/KI = BA/AD = BI/ID

BA/AD = BK/KI

Donc : KI = (AD*BK)/BA ?

Utilise la relation avec Bi et BD

Et applique Thalès aux triangles ABI et EBD.

Alors : KI = (BK*BD)/BI ?

Et ensuite, d'après Thalès dans les triangles ABI et EBD :

BA/BE = BI/BD = AI/ED

KI/AD = BI/BD

et
BA/BE = BI/BD

Donc

Ki/AD = BI/BD = BA/BE

Donc : KI/AD = BA/BE

KIBE = ADBA

KI = (AD*BA)/BE

Oui,

remplace avec les mesures.

KI = (2*1)/BE

Euh comment fait-on pour BE car sa mesure varie et je ne vois pas comment l'exprimer ?

BE = 1 + x car AE = MD.

Ah d'accord donc : KI = 2/x+1.

Merci infiniement.

Et ensuite comment dois-je faire pour en déduire que S(x) = (x²+1)/(x+1)

Calcule l'aire des deux triangles, puis la somme.

Alors pour l'aire de ABI = AB*KI/2

= 1*(2/x+1)/2

Et l'aire de DIM = DM*IJ/2

= x*IJ/2

IJ = AD - IK
donc ....

Donc l'aire de DIM = (x*(2-2/x+1))/2 ?

Oui, simplifie l'expression

Pour l'aire de ABI, je trouve : 2/(2x+2)

Et pour l'aire de DIM, je trouve : (2x²+2x)/x+1

Est-ce juste ?

Pour l'aire du triangle ABI, tu peux simplifier.

Vérifie le calcul pour l'aire du triangle DIM.

Pour l'aire du triangle ABI je peux simplifier par : 2/2(x+1) ?

Quant à l'air du triangle DIM je n'y arrive pas.

Aire triangle ABI : 1/(x+1)
Aire du triangle DIM : x(2-2/(x+1))/2= x(x+1-1)/(x+1)=
....

Aire de DIM = x²/x+1

Alors Aire ABI + Aire DIM = 1/x+1 + x²/x+1 = x²+1/x+1

C'est juste.

Merci beaucoup de votre aide et de votre patience.

Cordialement