Exercice encadrements

Bonjour j'ai un exercice à faire sur les encadrements mais je bloque malheureusement à partir de la question 3 , merci de m'aider

Exercice

Vérifier l'égalité 1/(√2 + 1) = (√2) - 1
Soit a et b deux nombres positifs vérifiant a ≤ √2 ≤ b (1)
Démontrer alors que 1 + 1/(b+1) ≤ √2 ≤ 1 + 1/(a+1) (2)
En partant de l'encadrement (1) avec a=1 et b=2; et en appliquant ce qui précède, quel encadrement (2) de √2 obtient-on?
Comparer les amplitudes de ces encadrements.
Avec ce nouvel encadrement de √2 et en réitérant le processus , quel nouveau encadrement de √2 obtient-on ? Est-il meilleur ?
Recommencer trois fois les étapes précédentes et donner l'amplitude du dernier encadrement obtenu

6 ) Ecrire un algorithme qui permette de donner un encadrement de √2 au bout de n étapes , n étant donné

Mes réponses :

J'ai trouvé en faisant le produit en croix (√2-1)×(√2+1) = (√2)² -1² = 1 donc 1/(√2 + 1) = (√2) - 1
L'égalité est trouvée mais je crois qu'on peux aussi le faire en réduisant au même dénominateur mais je ne sais plus comment faire
a ≤ √2 ≤ b
1+a ≤ 1 + √2 ≤ 1+b
1÷(1+b) ≤ 1÷(1+√2) ≤ 1÷(1+a)
1+1÷(1+b) ≤ 1+1÷(1+√2) ≤ 1+1÷(1+a)

3 ) En remplaçant a et b par 1 et 2 j'obtiens
4/3 ≤ √2 ≤ 3/2

Voilà je bloque ici pour la comparaison des amplitudes

Je vous remercie d'avance

Salut dddd831,

Pour la question 1), ta méthode est bonne, on pouvait effectivement mettre aussi au même dénominateur ainsi :
$1sqrt(2)+1=(sqrt(2))−1↔1sqrt(2)+1−sqrt(2)+1=0↔1+(−sqrt(2)+1)∗(sqrt(2)+1)sqrt(2)+1=0\frac{1}{sqrt(2) + 1} = (sqrt(2)) - 1 \leftrightarrow \frac{1}{sqrt(2) + 1} - sqrt(2) + 1 = 0 \leftrightarrow \frac{1 + (-sqrt(2)+1)*(sqrt(2)+1)}{sqrt(2)+1}=0$ ⇔ ...

Pour la question 3, l'encadrement (1) est : 1<√2<2, quelle est son amplitude ?
L'amplitude d'un encadrement étant la différence entre les deux membres extrêmes. L'encadrement (2) est : 4/3<√2<3/2, quelle est son amplitude ? Quel est le meilleur encadrement ?

L'amplitude de l'encadrement (1) est c = b - a = 2 - 1 = 1
L'amplitude de l'encadrement (2) est c = b - a = 3/2 - 4/3 = 1/6

Comment dois-je formuler la réponse pour les comparer ? Juste dire quelles sont différentes ?

Et pour la question 4 qu'entends-t-on par " en réitérant le processus" ?

Pour les comparer il faut dire lequel est le plus petit. Pour un encadrement, il est bon d'être de faible amplitude parce que ça veut dire qu'on s'approche plus du terme étudié (ici √2).
Réitérer le processus, signifie reprendre l'encadrement de la question 2), mais cette fois-ci avec les nouvelles valeurs que l'on a trouvées, qui sont meilleures que 1 et 2 !

Donc l'amplitude de l'encadrement (2) est plus faible que (1) car 1/6 < 1

1+1÷(3/2+1) ≤ √2 ≤ 1+1÷(4/3+1)

7/5 ≤ √2 ≤ 10/7

Cet encadrement est le meilleur car on est plus proche de √2

Pour la 5ème question il faut faire comme la question 4 mais 3 fois , je saurai le faire

Par contre pour la question 6 et l'algorithme je ne sais pas trop par quoi commencer

C'est ok pour ces questions-là.
Pour la question 6, je ne suis pas très au point sur le programme de 1ère S... As-tu déjà fait ou vu des algorithmes ? Quelle forme avaient-il ? (Pour..., tant que..., si... ?)

On en a fait juste 1 heure mais c'était des programmes du genre : Prendre un nombre , Ajouter 5 à ce nombre , Diviser -2 par le résultat , ...

Mais on en a pas fait avec les racines carrées et ni en rapport avec les encadrements

Et est-ce qu'il y avait des "si", des "pour" ou des "tant que" dans les algorithmes que vous avez faits ?

Non il n'y en avait pas

Ok, c'est un peu bizarre mais bon...
donc ici la première étape est donc de donner les valeurs initiales à a et b. Ensuite on peut mener le calcul pour trouver de nouvelles valeurs d'encadrement meilleures. Puis on remplace les valeurs de a et b par ces nouvelles valeurs et on recommence... Le tout n fois !

Donc ça donne Choisir un nombre a ≤ √2
Choisir un nombre b ≥ √2
Remplacer a et b dans cette formule : 1 + 1/(b+1) ≤ √2 ≤ 1 + 1/(a+1)
Recommencer n fois jusqu'à trouver le meilleur encadrement

Il faudrait être plus précis... Le choix de a et b du départ est celui du texte (1;2), puis avant de recommencer il faudrait remplacer les valeurs de a et b !

Soit a = 1 et b =2
Remplacer a et b dans la formule : 1 + 1/(b+1) ≤ √2 ≤ 1 + 1/(a+1)
Recommencer n fois avec ce nouvel encadrement jusqu'à trouver le meilleur encadrement de √2

Ce n'est pas encore assez clair, il faut dire par quoi tu remplaces a et par quoi tu remplaces b : a=..., b=...

Pourtant je précise au début Soit a = 1 et b =2 !!

Oui, mais ensuite on change les valeurs de a et de b, on leur donne de nouvelles valeurs pour pouvoir approcher encore plus √2 et à ce moment-là il faut préciser ces nouvelles valeurs.

Soit a = 1 et b =2
Remplacer a et b dans la formule : 1 + 1/(b+1) ≤ √2 ≤ 1 + 1/(a+1)
Recommencer n fois en utilisant à chaque fois les nouvelles valeurs de a et b obtenues jusqu'à trouver le meilleur encadrement de √2

C'est mieux, mais il faudrait préciser quelles sont les nouvelles valeurs de a et b obtenues (tu les as dans la formule juste au-dessus !)

4/3 et 3/2 ??

4/3 et 3/2 ce sera pour la première itération, mais pour la deuxième ce serait 7/5 et 10/7 et pour la suivante encore autre chose... C'est la formule qu'il faudrait écrire.

il faut que j'écrive toutes les itérations ?? Au bout de la combien je m'arrête ??

Non non !
Reprenons !
La première fois on prend a=1 et b=2.
Ensuite on utilise la formule de la question 2) et on s'aperçoit qu'on a un meilleur encadrement donc les valeurs 1 et 2 qu'on avait au départ ne nous intéressent plus, on va donc remplacer a et b par de nouvelles valeurs. A la première itération ces nouvelles valeurs seront 4/3 et 3/2, mais ensuite on réutilise exactement les mêmes formules et on va remplacer exactement de la même façon a et b. On peut donc, dans un programme dire que c'est la même chose à chaque étape, à condition d'avoir la formule donnant les nouvelles valeurs de a et b en fonction des anciennes à chaque fois !
par exemple 4/3=1+ 1/(2+1)
et 3/2= 1+ 1/(1+2)

Et ensuite on a : 7/5=1+1/(1+3/2)
et 10/7=1 +1/(4/3+1)

...

Soit a = 1 et b =2
Remplacer a et b dans la formule : 1 + 1/(b+1) ≤ √2 ≤ 1 + 1/(a+1)
Recommencer n fois en utilisant à chaque fois les nouvelles valeurs de a et b obtenues [ a = 1+1/(1+ a obtenu précédemment) et b =1+1/(1 + b précédent ]
jusqu'à trouver le meilleur encadrement de √2

c'est presque bon, il reste juste une petite erreur, la nouvelle valeur de a est la plus petite des deux, donc ce n'est pas 1+ 1/(1+a) mais ?
Idem pour b.

Désolé mais je ne vois pas ce que je dois remplacer , il faut préciser que b obtenu ≥ a obtenu ??

Non pas tout à fait, c'est juste que le nouveau a est 1+1/(1+b) et le nouveau b est 1+1/(1+a)
En gros l'algorithme est celui-là :
Etape 1 : on pose : a=1, b=2
Etape 2 : puisqu'on a : 1+1/(1+b)<v2<1+1/(1+a) et que cet encadrement est meilleur, on remplace la valeur de a par : $1+1/(1+b_{ancien}$ )) et b par : $1+1/(1+a_{ancien}$ )
Etape 3 : recommencer l'étape 2

Et on s'arrête lorsqu'on a effectué n fois l'étape 2

ça devrait donner ceci :

1 )Soit a = 1 et b =2
2 )Remplacer a et b dans la formule : 1 + 1/(b+1) ≤ √2 ≤ 1 + 1/(a+1)
3 )Recommencer n fois l'étape 2 avec les nouvelles valeurs de a = [ 1+1/(1+b ancien ] et b = [ 1+1/(1+a ancien) ] obtenues

Par contre dans l'énoncé on dit au bout de n étapes , n Etant Donné
Je mets quoi pour n ?

tu as déjà préciser que tu recommençais l'étape 2) n fois, c'est la seule chose à laquelle sert n...

Donc j'ai fini mon exercice merci beaucoup d'avoir pris le temps de m'aider