Etudier la nature d'une suite et son sens de variation

Bonsoir,
J'ai un exercice que j'ai trouvé partiellement sauf la dernière question pour laquelle j'aimerais avoir votre aide. Voici l'énoncé et mes réponses :
On considère la suite $u_n$ ) définie par son premier terme $u_0$ =-4 et la relation de récurrence vraie pour tout entier naturel n, $u_{n+1}$ = 1/2 $u_n$ -5/2

La suite $u_n$ ) est-elle une suite arithmétique ? une suite géométrique ? j'ai trouvé qu'elle était ni l'une, ni l'autre.
Soit a un réel fixé et $v_n$ ) la suite telle que, pour tout entier naturel n, $v_n$ = $u_n$ + a
a) Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ et de a. J'ai trouvé $v_{n+1}$ = 1/2 $v_n$ +a/2 - 5/2
b) Peut-on trouver un réel a tel que la suite $v_n$ ) soit une suite arithmétique ? ma réponse est non.
c) Déterminer une valeur de a pour laquelle la suite $v_n$ ) est une suite géométrique. Ma réponse est 5. Utiliser la valeur de a obtenue précédemment pour calculer $u_n$ en fonction de l'entier naturel n. Ma réponse est $u_n$ = $5^n$ -5
d) Etudier le sens de variation de la suite $u_n$ ). J'ai trouvé qu'elle était décroissante et calculer sa limite. Pour la limite, je ne sais pas trop.
e) Déterminer le plus petit entier naturel k tel que : Si n est un entier et si n≥ k alors d(u^n'-5)≤ $10^{-4}$ . Je ne comprends pas du tout ce qu'il faut faire. Pouvez-vous m'aider ? avec mes remerciements

Salut sophie,

Je ne suis pas d'accord avec toi pour les question c) et d), peux-tu détailler tes calculs pour la question c) ?

pour la question c, j'ai mis :

si a = 5 ; $v_{n+1}$ = 1/2 $v_n$ + 5/2 - 5/2
$v_{n+1}$ =1/2 $v_n$ ; donc pour a = 5, la suite est géométrique.
Voilà ce que j'ai trouvé. Merci de me redire si je me trompe.
Pour la question e, je ne comprends absolument rien. Merci de votre aide.

Oui la suite est géométrique, mais quelle est sa raison ? Que vaut $v_n$ en fonction de n ?

Sa raison est 1/2. Ensuite, j'ai mis v^0 = u^0 + a; v^0 = -4+5= 1
v^n étant une suite géométrique de raison q, alors v^n = v^0 x q^n
v^n = 1 X q^n ; v^n = 1 X 1/2^n = 1/2^n donc u^n = 1/2^n - 5
Ensuite, je viens de trouver :
(1/2u^n-5) - (1/2^n- 5) = 1/2 ((1/2^n-5)-5) -(1/2^n-5) ce qui fait
1/4^n-5/2-5/2 -1/2^n+5 = 1/4^n -2/4^n = -1/4^n donc la suite est décroissante. Voilà ce que je trouve après nouvelle réflexion. Est-ce cela ? Merci de me donner votre avis et quelques indices pour la suite

Il y a encore une petite erreur pour $u_n$ , regarde bien ! (je suis d'accord pour $v_n$ ).
Ensuite, attention : $2*2^n$ n'est pas égal à $4^n$ mais à $2^{n+1}$ !
Pour la question e), n'as-tu pas fait des fautes de frappe ? Qu'est-ce que d ?

Pour u^n, je ne vois pas mon erreur ; u^n = v^n - a donc 1/2^n-5 ; ensuite pour mon calcul, je dois rectifier de cette manière :
1/2^n+1 -5/2-5/2 -1/2^n+5 =1/2^n+1 - 1/2^n
Est-ce cela ? et comment je dois faire pour le sens de variation et sa limite ?
Pour la question e) je n'ai pas fait de faute de frappe ; il s'agit bien de :
d(u^n'-5)≤10^-4.
Encore merci pour votre patience à m'aider.

Ah oui excuse-moi c'était juste...
En fait ce serait plus simple de laisser sous la forme $1/2*2^n$ , comme ça lorsque tu calcules $u$ _{n+1} $u_n$ , tu peux factoriser par $1/2^n$ , ce qui devrait t'aider à trouver le signe !
pour la limite, quelle est la limite de $v_n$ ?
Le '- ne pourrait pas être un + ?

Je trouve 1/2^n (1/2-1) = 1/2^n x -1/2 donc la suite serait décroissante
est-ce cela ? Pour la limite, je ne comprends toujours pas comment faire. Pourquoi faut-il que je me serve de la limite de v^n ? je suis désolée de vous redemander des explications mais je n'arrive pas à trouver.

Il n'y a pas de soucis pour les explications, le forum est fait pour ça !
Pour la suite décroissante c'est ok ! Pour la limite, ma question était plus quelle est la limite de $1/2)^n$ quand n tend vers +∞ ?

bonjour,
Pour la limite de u^n, ne faudrait-il pas utiliser le théorème des gendarmes ? et pour la dernière question, avez-vous une idée sur ce d ?
De quoi s'agit-il ? Merci encore

Non pour la limité de $u_n$ , il suffit de savoir quelle est la limite de $1/2)^n$ quand n tend vers l'infini, je pense que tu dois avoir ça dans ton cours ! (ou au moins la limite de $2^n$ )
Pour la dernière question, pour moi un énoncé correct serait :
"Déterminer le plus petit entier naturel k tel que : Si n est un entier et si n≥ k alors $u_n$ +5≤ $10^{-4}$ "
Mais là le d, je ne vois pas du tout ce que ça peut être...

Merci pour toutes vos explications. Bonne soirée.