Fonctions symetriques

Bonjour, Je suis sur un Dm assez ardu, et je ne comprend pas l'exercice suivant :

f et g sont des fonctions définies sur R par : f(x)= -x²-2x+3 et g(x)=x²-6x+7 On note Cf et Cg les courbes qui représente ces fonctions dans un repère (O,I,J)

1.a/ J'ai précédemment démontré que f(x)= 4-(x+1)² et que g(x)= (x-3)²-2
b/ J'ai dressé le tableau de variation de chacune de ces fonctions
c/ Et j'ai tracé les deux courbes sur la même figure.

2.M(x;f(x)) est un point de Cf
a/ M'(x';y') est le point symétrique de M par rapport au point I(1;1).
Etablir que x'=2-x et que y'= 2-f(x)
b/ Pour tout réel x vérifier que g(2-x)=2-f(x)
c/ En déduire que le point M' appartient à Cg
d/ Quel est le centre de laa symétrie que transforme Cf en Cg? Justifier

H est la courbe symétrique de Cf par rapport à l'origine O. Quelle est la fonction représentée par H ?

Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter..

Bonjour,

Pour la symétrie, écris la relation liant les vecteurs OM' et OM.

Excusez moi, mais voila deux heures que je reflechis avec votre piste et je n'arrive toujours pas au résultat demandé...
Merci d'avoir essayé, mais si vous pouviez être plus précise quant au chemin dans le raisonnement, je vous serai reconnaissante...

Si M' est le symétrique du point M par rapport au point I, alors
vect IM' = vect MI
ou
vect OM' = 2 vect OI - vect OM
...

merci