problème de récurrence : nombre de diagonales d'un polygone convexe



  • bonjour, j'ai un problème dans
    cette exercice que je n'arrive pas:S
    j'espère que quelqu'un pourra m'aider

    le nombre n est un entier supérieur ou égal à 3.

    Sur un cercle on dispose dans l'ordre n points A1A_1, A2A_2,... AnA_n ; on obtient ainsi les n sommets d'un polygone convexe inscrit dans les cercle.

    On note DnD_n le nombre de diagonales d'un tel polygone.

    1/ En s'aidant d'une figure, donner les valeurs de D3D_3, D4D_4, D5D_5 et D6D_6.

    2/ Passage de DnD_n à Dn+1D_{n+1} ; le polygone à n côtés A1A_1, A2A_2,... AnA_n étant tracé avec ses diagonales, on ajoute un n+1 point B que l'on place sur l'arc [A1[A_1;AnA_n] qui ne contient pas de sommet du polygone. En considérant les nouvelle diagonales que le point B permet de construire montrer que Dn+1D_{n+1} = DnD_n + n - 1

    3/ Conjecturer une expression de DnD_n en fonction de n et la démontrer.

    merci d'avance



  • Bonsoir

    1/ En s'aidant d'une figure, donner les valeurs de D3, D4, D5 et D6.

    tu as fait ça ? tout est dans ces premières observations.



  • et ben je pense que D3=D4=D5=D6 ?



  • enfin j'ai fait une figure et je ne suis pas sur du résultat je pense que D3=D4=D5=D6=3



  • certainement pas.

    toi, tu n'as pas fait de dessin ou alors pas correct : pas bien pas bien 😉

    fichier math

    le passage d'une figure à l'autre semble t-il suivre le modèle annoncé à la question 2 ?
    c'est-à-dire, est-ce que si l'on ajoute un sommet, le nombre de diagonales augmente du nombre de sommets précédent moins un ? car c'est ce que signifie le Dn+1D_{n+1} = DnD_n + n - 1.



  • en passante de la figure 1 à le figure 2 c'est le cas mais de la figure 2 à le figure 3 ce n'est pas le cas



  • Ah bon, 2 n'est pas égal à 0 + 3 - 1 ?

    Au fait : je t'ai donné D3D_3 = 0, D4D_4 = 2 et D6D_6 = 5 ; c'est à toi de trouver D6D_6 avec une nouvelle figure.



  • ah d'accord j'ai compris!
    donc D3=0 D4=2 D5=5 et D6=9



  • ok :

    fichier math
    réfléchis à la suite maintenant que tu sembles avoir compris le principe.

    s'il le faut essaie de dessiner pour trouver D7D_7.



  • pour la question 2 il faut dire
    D4=D3+3-1
    D4=0+3-1=2
    D5=D4+4-1
    D5=2+4-1=5
    D6=D5+5-1
    D6=5+5-1=9
    donc Dn+1=Dn+n-1 est vérifié



  • mais la question 3 je ne comprend pas trop


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Pour la question 3, tu dois proposer une expression de Dn en fonction de n, puis la démontrer.



  • Re. Voici D7D_7

    fichier math

    Donc en résumé

    $\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \ \text{nb sommets} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \dots & n & n+1 \ \hline \ \text{nb diagonales} & 0 & 2 & 5 & 9 & 14 & \dots & d_n & d_n + n - 1\ \ \end{tabular}$

    On sait trouver indirectement le nombre de diagonales, en passant d'une case à l'autre au moyen de la relation de récurrence :
    dn+1=dn+n1d_{n+1} = d_n + n-1.
    On veut maintenant que tu trouves le passage directdu nombre de sommets n au nombre de diagonales dnd_n.

    C'est la part "conjecture" de la question : il faut deviner en quelque sorte la formule qui donne le nombre de diagonales directement à partir du nombre de sommets.



  • et ben la formule et Dn=-(n-1)+Dn+1 ? et pour la démontrer il faut faire par exemple D4=-4-1+4+1=2 ?



  • Non, tu n'as pas saisi le problème.

    La formule dont tu parles dépend de n et de Dn.
    Par exemple, pour donner D19D_{19}, il faudrait que tu trouves tous les D10D_{10}, ..., D18D_{18}.

    Ici, ta/ton prof attend que tu trouves une expression (comme un polynôme en n par exemple) qui permette de calculer D19D_{19} uniquement à partir de l'indice 19 (et sans utiliser la valeur de D18D_{18}).

    Comprends-tu mieux la question maintenant ?



  • mais si mes réponses 2 et 3 sont juste je ne comprend pas a quoi me sert D7



  • il faut faire un raisonnement par récurrence? car je ne vois pas trop comment parvenir a cette expréssion



  • ... à essayer de trouver la formule demandée à la question 3/

    Conjecturer une expression de DnD_n en fonction de n et la démontrer.



  • je ne comprend pas comment y parvenir



  • D'accord. C'est d'ailleurs là que ça devient intéressant.

    Alors il me semble que l'on peut affirmer que ce n'est pas affine en n, par exemple la représentation graphique des premières valeurs de DnD_n en fonction de n le montre clairement :

    fichier math
    (sinon les points auraient été alignés).

    Maintenant, il faut regarder du côté du second degré.
    Essaie de trouver un polynôme P(n) = an² + bn + c (éventuellement sous la forme factorisée P(n) = (n-u)(n-v) si ça te semble plus facile) tel que :

    P(3) = 0
    P(4) = 2
    P(5)= 5
    P(6) = 9
    P(7) = 14.

    Fais des essais "intelligents" !



  • j'ai fait pleins de combinaisons mais je n'ai rien trouver j'ai fait
    P(4)=(n-2)(n-4)
    p(4)=(n-4)(n-4)
    p(4)=4n²+4n+2
    ...
    je ne parviens pas au résultat



  • re.

    c'est bien !

    mais tu n'as pas tenu compte du fait que P(3) = 0, c'est-à-dire qu'il y a un facteur (n-...) n'est-ce pas.

    continue !



  • mais les calcul que je vous ai présenté sont un exemple et j'ai utilisé p(4) non p(3)



  • c'est difficile a deviner une expression comme ca



  • re.

    Il faut que lorsque n=3 on obtienne la valeur 0 : donc dans le polynôme P(n) il y a nécessairement (n-
    ...).

    quel nombre dans les pointillés d'ailleurs ?

    un regard sur les figures du début, et tu vois qu'en fait une diagonale concerne *deux *points à chaque fois. Il vaudrait peut-être donc mieux considérer les doubles de DnD_n

    Vois les valeurs
    2P(3) = 0
    2P(4) = 4
    2P(5)= 10
    2P(6) = 18
    2P(7) = 28.



  • ben justement je n'arrive pas a trouver la chiffre aprés (n-..)



  • rho : il faut que ça fasse 0 quand n vaut 3



  • (n-0) ?



  • mais non : si tu mets 3 à la place de n, alors (3-0) = 3.

    (pardon j'ai un peu traîné)



  • ben c'est (n-3)(n-3)?


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