problème de récurrence : nombre de diagonales d'un polygone convexe

bonjour, j'ai un problème dans
cette exercice que je n'arrive pas:S
j'espère que quelqu'un pourra m'aider

le nombre n est un entier supérieur ou égal à 3.

Sur un cercle on dispose dans l'ordre n points $A_1$ , $A_2$ ,... $A_n$ ; on obtient ainsi les n sommets d'un polygone convexe inscrit dans les cercle.

On note $D_n$ le nombre de diagonales d'un tel polygone.

1/ En s'aidant d'une figure, donner les valeurs de $D_3$ , $D_4$ , $D_5$ et $D_6$ .

2/ Passage de $D_n$ à $D_{n+1}$ ; le polygone à n côtés $A_1$ , $A_2$ ,... $A_n$ étant tracé avec ses diagonales, on ajoute un n+1 point B que l'on place sur l'arc $A_1$ ; $A_n$ ] qui ne contient pas de sommet du polygone. En considérant les nouvelle diagonales que le point B permet de construire montrer que $D_{n+1}$ = $D_n$ + n - 1

3/ Conjecturer une expression de $D_n$ en fonction de n et la démontrer.

merci d'avance

Bonsoir

1/ En s'aidant d'une figure, donner les valeurs de D3, D4, D5 et D6.

tu as fait ça ? tout est dans ces premières observations.

et ben je pense que D3=D4=D5=D6 ?

enfin j'ai fait une figure et je ne suis pas sur du résultat je pense que D3=D4=D5=D6=3

certainement pas.

toi, tu n'as pas fait de dessin ou alors pas correct : pas bien pas bien

$fichier math$

le passage d'une figure à l'autre semble t-il suivre le modèle annoncé à la question 2 ?
c'est-à-dire, est-ce que si l'on ajoute un sommet, le nombre de diagonales augmente du nombre de sommets précédent moins un ? car c'est ce que signifie le $D_{n+1}$ = $D_n$ + n - 1.

en passante de la figure 1 à le figure 2 c'est le cas mais de la figure 2 à le figure 3 ce n'est pas le cas

Ah bon, 2 n'est pas égal à 0 + 3 - 1 ?

Au fait : je t'ai donné $D_3$ = 0, $D_4$ = 2 et $D_6$ = 5 ; c'est à toi de trouver $D_6$ avec une nouvelle figure.

ah d'accord j'ai compris!
donc D3=0 D4=2 D5=5 et D6=9

ok :

$fichier math$
réfléchis à la suite maintenant que tu sembles avoir compris le principe.

s'il le faut essaie de dessiner pour trouver $D_7$ .

pour la question 2 il faut dire
D4=D3+3-1
D4=0+3-1=2
D5=D4+4-1
D5=2+4-1=5
D6=D5+5-1
D6=5+5-1=9
donc Dn+1=Dn+n-1 est vérifié

mais la question 3 je ne comprend pas trop

Bonsoir,

Pour la question 3, tu dois proposer une expression de Dn en fonction de n, puis la démontrer.

Re. Voici $D_7$

$fichier math$

Donc en résumé

$\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \ \text{nb sommets} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \dots & n & n+1 \ \hline \ \text{nb diagonales} & 0 & 2 & 5 & 9 & 14 & \dots & d_n & d_n + n - 1\ \ \end{tabular}$

On sait trouver indirectement le nombre de diagonales, en passant d'une case à l'autre au moyen de la relation de récurrence :
$d_{n+1} = d_n + n-1$ .
On veut maintenant que tu trouves le passage directdu nombre de sommets n au nombre de diagonales $d_n$ .

C'est la part "conjecture" de la question : il faut deviner en quelque sorte la formule qui donne le nombre de diagonales directement à partir du nombre de sommets.

et ben la formule et Dn=-(n-1)+Dn+1 ? et pour la démontrer il faut faire par exemple D4=-4-1+4+1=2 ?

Non, tu n'as pas saisi le problème.

La formule dont tu parles dépend de n et de Dn.
Par exemple, pour donner $D_{19}$ , il faudrait que tu trouves tous les $D_{10}$ , ..., $D_{18}$ .

Ici, ta/ton prof attend que tu trouves une expression (comme un polynôme en n par exemple) qui permette de calculer $D_{19}$ uniquement à partir de l'indice 19 (et sans utiliser la valeur de $D_{18}$ ).

Comprends-tu mieux la question maintenant ?

mais si mes réponses 2 et 3 sont juste je ne comprend pas a quoi me sert D7

il faut faire un raisonnement par récurrence? car je ne vois pas trop comment parvenir a cette expréssion

... à essayer de trouver la formule demandée à la question 3/

Conjecturer une expression de $D_n$ en fonction de n et la démontrer.

je ne comprend pas comment y parvenir

D'accord. C'est d'ailleurs là que ça devient intéressant.

Alors il me semble que l'on peut affirmer que ce n'est pas affine en n, par exemple la représentation graphique des premières valeurs de $D_n$ en fonction de n le montre clairement :

$fichier math$
(sinon les points auraient été alignés).

Maintenant, il faut regarder du côté du second degré.
Essaie de trouver un polynôme P(n) = an² + bn + c (éventuellement sous la forme factorisée P(n) = (n-u)(n-v) si ça te semble plus facile) tel que :

P(3) = 0
P(4) = 2
P(5)= 5
P(6) = 9
P(7) = 14.

Fais des essais "intelligents" !

j'ai fait pleins de combinaisons mais je n'ai rien trouver j'ai fait
P(4)=(n-2)(n-4)
p(4)=(n-4)(n-4)
p(4)=4n²+4n+2
...
je ne parviens pas au résultat

re.

c'est bien !

mais tu n'as pas tenu compte du fait que P(3) = 0, c'est-à-dire qu'il y a un facteur (n-...) n'est-ce pas.

continue !

mais les calcul que je vous ai présenté sont un exemple et j'ai utilisé p(4) non p(3)

c'est difficile a deviner une expression comme ca

re.

Il faut que lorsque n=3 on obtienne la valeur 0 : donc dans le polynôme P(n) il y a nécessairement (n-
...).

quel nombre dans les pointillés d'ailleurs ?

un regard sur les figures du début, et tu vois qu'en fait une diagonale concerne *deux *points à chaque fois. Il vaudrait peut-être donc mieux considérer les doubles de $D_n$

Vois les valeurs
2P(3) = 0
2P(4) = 4
2P(5)= 10
2P(6) = 18
2P(7) = 28.

ben justement je n'arrive pas a trouver la chiffre aprés (n-..)

rho : il faut que ça fasse 0 quand n vaut 3

(n-0) ?

mais non : si tu mets 3 à la place de n, alors (3-0) = 3.

(pardon j'ai un peu traîné)

ben c'est (n-3)(n-3)?

(n-3) c'est bien

mais est-ce que (n-3)² colle avec les valeurs listées à 19h54 ?

si ce n'est le cas, il faudra que tu ajustes encore le 2e facteur (n-3)(...).

non c'est (n-6) ?

Non : l'un des facteurs est n-3 ; l'autre est à trouver.

Alors par exemple pour n=4 tu as 2P(4) = 4 c'est-à-dire (4-3)(...) = 4.

De même pour n=5 tu as 2P(5) = 10 c'est-à-dire (5-3)(...) = 10.

Et ainsi de suite.

Je te laisse continuer (car j'ai à faire) - bonne soirée Zoé.

ah j'ai enfin trouvé ouffff
alors je résume tout pouvez vous me dire si je ne me trompe pas?

question 1:
D3=0 D4=2 D5=5 et D6=9

question 2:
D4=D3+3-1
D4=0+3-1=2
D5=D4+4-1
D5=2+4-1=5
D6=D5+5-1
D6=5+5-1=9
donc Dn+1=Dn+n-1 est vérifié

question 3:
Dn=(n-3)(n-0)
comme les diagonales concernent 2 points à chaque fois on double les valeurs de Dn
2P(3) = 0
2P(4) = 4
2P(5)= 10
2P(6) = 18
démonstration:
D4=(4-3)(4-0)=4
D5=(5-3)(5-0)=10
D6=(6-3)(6-0)=18
donc Dn=(n-3)(n-0) est vérifiée

j'espère que c'est bien ca en tous cas je vous remercie énormément pour votre patience

bonne soirée

Attention : c'est $2D_n$ = (n-3)n. Donc $D_n$ = ...

Car comme tu l'as écrit, on a multiplié par 2 à un moment donné pour mieux voir le phénomène.

Il te reste maintenant à démontrer que cette formule est vrai pour toute valeur de n (car on ne l'a vue que pour les petites valeurs 3 ou 4 ou 5 etc.) et ceci se fait par récurrence - mais je n'ai pas le temps de te guider ce soir !

d'accord merci beaucoup