des limites remarquables

Bonjour, j'aurais besoin d'un peu d'aide pour mon TD. ^^

supposons h dans l'intervalle [0;pi/2]

C est le cercle trigonométrique de centre O.
Notons M le point de C tel que h est la mesure principale en radians de l'angle (vec OA ; vec OM).
h est donc aussi la mesure principale en radians de l'angle géométrique AOM. Dans ces conditions et avec la notations de la figure, on sait que OA = 1 ; Om = cos h et Mm = sin h et l'arc AM a pour longueur h.
L'aire du triangle OAM est inférieur à l'aire du secteur circulaire OAM, elle-même inféieure à l'aire du triangle OAT:
aire(triangle OAM ) ≤ aire (secteur circulaire OAM) ≤ aire(triangle OAT) [1].

a) Prouvez que l'aire du secteur circulaire OAM est h/2.

b) Prouvez que l'air du triangle OAM est 1/2sinh .

c) Prouvez que l'aire du triangle OAT est 1/2 * sinh/cosh.

d) Déduisez-en que les inégalités [1] s'écrivent : sinh ≤ h ≤sinh/cosh.

e) Tous les réels qui interviennent dans ces inégalités étant positifs, déduisez-en que: sinh/h ≤ 1 et cosh ≤ sinh/h
et que pour tout réel h appartient à ]0;pi/2[ , cosh ≤ (sinh)/h≤ 1

avec l'image:

http://i1016.ph...t=1284661285

j'utilise l'air du secteur circulaire
c'est prouvé grace à l'énoncé

pouvez vous m'aider pour la suite s'il vous plait ?

Merci

Bonsoir,

c) Exprime AT dans le triangle OAT.

hm comment puis je l'exprimer ? Avec "Soh cah toa" ?

Oui, avec Avec "Soh cah toa"

ah donc
tan(h)= AT/OA = AT/1 =AT ????

oui,

Utilise la relation entre tan, sin et cos

Aire OAT = (OAAT)/2 = (1AT)/2

Mais dans l'énoncé il y n'y pas la longueur AT mais ça dit:
Om= cosh
et Mm= sinh

mais AT = tan h = sinh / cosh

donc A ( OAT) = (1*(Sinh/cosh))/2 = (1/2)* (sinh/cosh)

Oui

et pour le d)
(1/2)sinh ≤ h/2 ≤ (1/2)(sinh/cosh)
2(1/2)sinh ≤ h ≤ 2(1/2)*(sinh/cosh)
sinh ≤ h ≤ sinh/cosh

mais j'arrive pas à trouver le e)

C'est juste.

comment puis je prouver que sinh/h ≤ 1 et cosh ≤ sinh/h ?
et que h appartient à ]0;pi/2[ , cosh ≤ (sinh)/h≤ 1 ?

pour le e) Décompose la double inégalité en deux inéquations.

pour le 1er:
(sinh/h) ≤1
(sinh/h) ≤ (h/h)

et le deuxieme
cosh ≤ sinh /h
cosh * h ≤ sin h

?

h étant compris entre [0 ; π/2[, il faut préciser que sinh ≥0 et cos h ≥0
donc comme sinh ≤ h
si h différent de 0 sinh / h ≤ 1
et
comme
h ≤ sinh / cos h
cos h ≤ ....

ah oui merci je comprends maintenant
en fait le TD n'est pas fini j'ai:

Posons h dans l'intervalle ] -pi/2 ; 0 [
posons h' = -h > 0 et d'après l'étude précédente, cosh' ≤ (sinh'/h') ≤ 1

Déduisez en que pour tout réel h, h' different de 0 dans, ] -pi/2 ; pi/2[ ,
cosh ≤ sinh/h ≤ 1.

ici je dois remplacer h' par -h si j'ai bien compris

La fonction usuelle x→ cos x a pour limite 1 en 0.
déduisez en Lim (h→0) sinh / h

Oui,

Fais les calculs.

cos -h ≤ sin -h / - h ≤ 1
cos -h ≤ -sin h / - h ≤ 1
cos -h ≤ sin h / h ≤ 1

Oui
avec
cos(-h) = cos h

et pour la 3) on utilise le théorème de gendarme ?
puisque Lim cos(h) = 1 quand h tend vers 0
Et Lim 1 = 1 quand h tend vers 0
donc lim sinh/h =1 quand h tend vers 0?

Oui

C'est juste.

C'est les toutes dernières questions de ce TD:

le calcul de la limite en 0 de (cosh - 1 ) / h nous conduit aussi à faire à une forme indeterminée car numérateur et dénominateur tendent vers 0 avec h.

a) en remarquant que cosh= 1 - 2sin² (h/2), prouvez que
(cosh - 1) / h = -(sin²(h/2)) / (h/2)

b) lorsque h est très voisin de 0, h/2 es très voisin de 0
de quel nombre (sin²(h/2)) / (h/2) est il voisin ?

déduisez sa limite h tend vers 0 cosh - 1 / h

pour le a) quand je remplace cosh par 1 - 2sin² (h/2) dans (cosh - 1) / h
cela me donne:
(1 - 2sin² (h/2) - 1 ) / h
(- 2sin² (h/2) )/ h

2sin² (h/2) * (1/h)
2sin² h / 2h
mais ça ne donne pas le meme resultat que ce que je dois trouver : -(sin²(h/2)) / (h/2)

La dernière ligne est fausse

2sin² (h/2) * (1/h)
donne
sin² (h/2) * (2/h)
sin² (h/2) /( h/2)

ah O.o
oui je n'avais pas fais attention au 2 devant le sin

pour la question b)
c'est voisin de 0 ? puisque h et h/2 sont voisin de 0

(sin²(h/2)) / (h/2) voisin de h/2
comme h tend vers 0, la limite est 0.

aah oui je comprends, j'ai cogité un peu
merci beaucoup de votre aide ^^

Bonjour,
en fait je n'ai pas bien compris le petit b)

C'est les toutes dernières questions de ce TD:

le calcul de la limite en 0 de (cosh - 1 ) / h nous conduit aussi à faire à une forme indeterminée car numérateur et dénominateur tendent vers 0 avec h.

a) en remarquant que cosh= 1 - 2sin² (h/2), prouvez que
(cosh - 1) / h = -(sin²(h/2)) / (h/2)

b) lorsque h est très voisin de 0, h/2 es très voisin de 0
de quel nombre (sin²(h/2)) / (h/2) est il voisin ?

déduisez sa limite h tend vers 0 cosh - 1 / h

=> la limite de h tend vers 0 cosh - 1 / h est de 0 ? mais pourquoi ?

Bonsoir
ouhlajn
=> la limite de h tend vers 0 cosh - 1 / h est de 0 ? mais pourquoi ?
que veux-tu dire par là ? c'est h qui tend vers 0 et cos(h)-1 aussi ; il s'agit donc d'une FI du genre "0/0".

les transformations proposées en a) et b) permettent de la lever.

oh je vois.
Mais comment peut on faire pour lever indétermination ?

en répondant déjà à cela :

énoncé
a) en remarquant que cosh= 1 - 2sin² (h/2), prouvez que
(cosh - 1) / h = -(sin²(h/2)) / (h/2)