Sens de variations de la fonction cube - dm pour lundi 27 sept

Sujet: Considérons la fonction cb définie sur IR par x→x³

But:Sens de variations de la fonction cube.

1) Rappeler la définition d'une fonction srtictement croissante. (ça c'est fait je l'ai dans mon cours)

2) Soient x1 et x2 deux réels tel que x1<x2

a) Si x1<0 et x2>0 que peut on dire de cb(x1) et cb(x2)?

Ma réponse:
Si x1 est négatif et x2 positif, on a cb(x1)<cb(x2) car
Si x1<0 on x1³<0 et si x2>0 on a x2³>0 donc x1³<x2³

Donc cb(x1)<cb(x2)

(Je pense que ma réponse est très mal formuler, mais je ne vois pas comment prouver ce résultat sachant que je suis pas censée savoir que la fonction cube est croissante sur [-∞;0] et sur [0;+∞]...)

[b]b)[/b] Dévelloper: (x1-x2)(x1²+x1×x2+x2²)

Rép: (x1-x2)(x1²+x1×x2+x2²)
=x1³+x1(x1×x2)+(x1×x2²)+(-x2×x1²)+(-x2(x1×x2))-x2³

(je ne suis pas sure de mon développement et de plus je pense qu'il faut réduire donc si quelqu'un peut m'aider! )

[b]1°) [/b]si x1 et x2 strictement positifs
Quel est le signe de x1³-x2³?

rép:
Si x1 et x2 strictement positifs alors x1³-x2³ sera strictement négatif car:

( si quelq'un à une justif à me proposé! )

[b]2°)[/b] si x1 et x2 strictement négatifs
Quel est le signe de x1³-x2³?

rép:
Si x1 et x2 strictement positifs alors x1³-x2³ sera strictement négatif

(Je pense que la est juste réponse mais je ne sais pas comment justifier, et mon prof veut qu'on fasse des justifications avec des calcul algébrique... )

[b]3°)[/b] Conclure. (Ca c'est fait)

(Merci d'avance pour tout ceux qui m'aiderons, ce devoir est a rendre pour lundi)

Bonjour anakim,

Je ne m'y retrouve pas dans tes n°, mais

Si x1<0 et x2>0 Utilise la règle des signes pour justifier

Effectivement, il faut poursuivre le développement puis simplifier cette expression :

(x1-x2)(x1²+x1×x2+x2²) =
x1³+x1(x1×x2)+(x1×x2²)+(-x2×x1²)+(-x2(x1×x2))-x2³ =
. . .

tu dois normalement aboutir à $x_1$ ³ - $x_2$ ³

Tiens tiens ! Et si tu t'en servais pour justifier les deux autres cas ?

Finalement, si $(x$ _1 $- x$ _2 $x_1$ ² $x_1$ . $x$ _2 $x_2$ ²) = $x_1$ ³ - $x_2$ ³

alors il y a de grandes chances que $x_1$ ³ - $x_2$ ³ ait le même signe que $(x$ _1 $- x$ _2 $x_1$ ² $x_1$ . $x$ _2 $x_2$ ²)

et tu dois être capable d'étudier le signe de la dernière expression sans faire intervenir la fonction cube

à toi ...

Merci de ton aide. J'ai reussi à dévelloper et a trouvé x1³ - x2³ mais je n'arrive pas a justifier que:

Pour x1 et x2 strictement négatif on a x1³-x2³<0 avec x1<x2.

car je trouve (x1-x2)>0et (x1²+x1.x2+x2²)>0
et donc je trouve (x1-x2)(x1²+x1.x2+x2²)>0 , x1³ - x2³>0.

Alors que normalement je devrais trouvé x1³-x2³<0.
puisque la fonction cube est strictement croissante et ne change pas l'ordre.

Bonjour,

Tu n'as pas la condition $x_1$ < $x_2$ ?

tu as les hypothèses suivantes :

x1 < x2 ... faut pas l'oublier celle-là !
x1 < 0
x2 < 0

Citation
(x1²+x1.x2+x2²)>0

oui, les carrés sont tjrs positifs, x1.x2 est positif également d'après la règle des signes

Citation
(x1-x2)>0
Non, ce sont des réels négatifs, plus un réel négatif est petit, plus sa valeur absolue est grande.

x1 < x2 < 0 signifie que |x1| > |x2|

par exemple : x1 = -5 et x2 = -3

on a bien -5 < -3

|-5| > |-3|

et x1-x2 = -5 -(-3) = -2 < 0

Ok merci tout le monde! c'est bon j'ai reussi a le finir en fin de compte!

x1<x2 →x1-x2<0 pour x1<0 et x2<0
le produit d'un négatif par un positif est toujours négatif.
Donc x1³-x2³<0 pour x1et x2<0.

Iron: en fait j'avais zappée que -5< -3... Fin bon merci beaucoup!!

Noemi: si j'ai la condition x1
x2 s'en faire exprès du coup ça a tout faussé!

Ok merci tout le monde! c'est bon j'ai reussi a le finir en fin de compte!

x1<x2 →x1-x2<0 pour x1<0 et x2<0
le produit d'un négatif par un positif est toujours négatif.
Donc x1³-x2³<0 pour x1et x2<0.

Iron: en fait j'avais zappée que -5< -3... Fin bon merci beaucoup!!

Noemi: si j'ai la condition x1
x2 s'en faire exprès du coup ça a tout faussé!