CONGRUENCES

[nany.star]

Bonjour, alors j'ai un exercice a faire sur les congruences mais je bloque !

Je dois déterminer que 10 puissance 2010 +12 est divisible par 13.
Mais lorsque je calcule, je n'arrive pas a trouver que c'est divisible par 13
car je trouve toujours un reste!

Merci de bien vouloir essayer de m'aider

[Noemi]

Bonsoir,

Quels sont les restes de $10^n$pour une division par 13 ?

[Zauctore]

Bonjour

Par "Autres classes", qu'entends-tu ?

Connais-tu le petit théorème de Fermat ?

[Zauctore]

Oups doublon, je me sauve...

[nany.star]

Noemi
Bonsoir,

Quels sont les restes de $10^n$pour une division par 13 ?

Oui, c'es 1

[nany.star]

Zauctore
Bonjour

Par "Autres classes", qu'entends-tu ?

Connais-tu le petit théorème de Fermat ?

Non, je ne le connait pas

[Zauctore]

Re bonjour nanystar

1. ok, tu ne connais pas petit fermat

2. par contre, peux-tu préciser ce que tu entends par "Autres classes" ?

3. la réponse que tu donnes à la question de Noemi n'est pas satisfaisante :

10² ≡ 9 [13]
10³ ≡ 12 [13]
etc.

c'est loin de faire toujours 1 n'est-ce pas.

il se trouve que pour répondre à ton problème, il suffit de montrer que $10^{2010}$ ≡ 1 [13] ; c'est pour cela que Noemi t'a demandé de regarder du côté des restes modulo 13 des puissances de 10.

[nany.star]

Zauctore
Re bonjour nanystar

1. ok, tu ne connais pas petit fermat

2. par contre, peux-tu préciser ce que tu entends par "Autres classes" ?

3. la réponse que tu donnes à la question de Noemi n'est pas satisfaisante :

10² ≡ 9 [13]
10³ ≡ 12 [13]
etc.

c'est loin de faire toujours 1 n'est-ce pas.

il se trouve que pour répondre à ton problème, il suffit de montrer que $10^{2010}$ ≡ 1 [13] ; c'est pour cela que Noemi t'a demandé de regarder du côté des restes modulo 13 des puissances de 10.

Alors, par autres classe j'entends terminal L (spé maths).
Quand j'ai répondu a noémi j'ai voulu dire qu'il fallait que je trouve 1 pour faire : 1+12 = 13 (mod13) et donc 0 mod 13

D'accord pour le conseil en fait j'aai fait ca :
10puissance 2010 = 10puiss. 20110puiss10
=10puiss6710puiss4*10puiss10

[nany.star]

nany.star
Zauctore
Re bonjour nanystar

1. ok, tu ne connais pas petit fermat

2. par contre, peux-tu préciser ce que tu entends par "Autres classes" ?

3. la réponse que tu donnes à la question de Noemi n'est pas satisfaisante :

10² ≡ 9 [13]
10³ ≡ 12 [13]
etc.

c'est loin de faire toujours 1 n'est-ce pas.

il se trouve que pour répondre à ton problème, il suffit de montrer que $10^{2010}$ ≡ 1 [13] ; c'est pour cela que Noemi t'a demandé de regarder du côté des restes modulo 13 des puissances de 10.

Alors, par autres classe j'entends terminal L (spé maths).
Quand j'ai répondu a noémi j'ai voulu dire qu'il fallait que je trouve 1 pour faire : 1+12 = 13 (mod13) et donc 0 mod 13

D'accord pour le conseil en fait j'aai fait ca :
10puissance 2010 = 10puiss. 20110puiss10
=10puiss6710puiss4*10puiss10

A non j'ai trouvé autre chose !
10puiss 2010 = (10puiss 12)puiss 167
=1 mod 13
donc 1+12 =13 mod 13 = 0 mod 13

[Zauctore]

tu écris 2010 = 12×167 + 6 : il y a un reste.

donc $10^{2010}$ = $(10$^{12}${)}^{167}$×$10^6$ ≡ $10^6$ [13]

comment gères-tu le $10^6$ modulo 13 ?

Rq : $10^{12}$ ≡ 1 mod 13 c'est un cas particulier du petit théorème de Fermat.

[nany.star]

10 puiss 6 :1(mod 13)
1*1 +12 = 13(mod 13)
=0 mod 13

[Zauctore]

Voilà c'est tout bon (il ne fallait pas passer à côté du 1 000 000 ≡ 1 mod 13).

@+

[nany.star]

Zauctore
Voilà c'est tout bon (il ne fallait pas passer à côté du 1 000 000 ≡ 1 mod 13).

@+

Merci beaucoup pour votre aide !
bonne soirée

[Zauctore]

Également !