CONGRUENCES


  • N

    Bonjour, alors j'ai un exercice a faire sur les congruences mais je bloque !

    Je dois déterminer que 10 puissance 2010 +12 est divisible par 13.
    Mais lorsque je calcule, je n'arrive pas a trouver que c'est divisible par 13
    car je trouve toujours un reste!

    Merci de bien vouloir essayer de m'aider 🙂


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir,

    Quels sont les restes de 10n10^n10npour une division par 13 ?


  • Zauctore

    Bonjour

    Par "Autres classes", qu'entends-tu ?

    Connais-tu le petit théorème de Fermat ?


  • Zauctore

    Oups doublon, je me sauve...
    😉


  • N

    Noemi
    Bonsoir,

    Quels sont les restes de 10n10^n10npour une division par 13 ?

    Oui, c'es 1


  • N

    Zauctore
    Bonjour

    Par "Autres classes", qu'entends-tu ?

    Connais-tu le petit théorème de Fermat ?

    Non, je ne le connait pas


  • Zauctore

    Re bonjour nanystar

    1. ok, tu ne connais pas petit fermat

    2. par contre, peux-tu préciser ce que tu entends par "Autres classes" ?

    3. la réponse que tu donnes à la question de Noemi n'est pas satisfaisante :

    10² ≡ 9 [13]
    10³ ≡ 12 [13]
    etc.

    c'est loin de faire toujours 1 n'est-ce pas.

    il se trouve que pour répondre à ton problème, il suffit de montrer que 10201010^{2010}102010 ≡ 1 [13] ; c'est pour cela que Noemi t'a demandé de regarder du côté des restes modulo 13 des puissances de 10.


  • N

    Zauctore
    Re bonjour nanystar

    1. ok, tu ne connais pas petit fermat

    2. par contre, peux-tu préciser ce que tu entends par "Autres classes" ?

    3. la réponse que tu donnes à la question de Noemi n'est pas satisfaisante :

    10² ≡ 9 [13]
    10³ ≡ 12 [13]
    etc.

    c'est loin de faire toujours 1 n'est-ce pas.

    il se trouve que pour répondre à ton problème, il suffit de montrer que 10201010^{2010}102010 ≡ 1 [13] ; c'est pour cela que Noemi t'a demandé de regarder du côté des restes modulo 13 des puissances de 10.

    Alors, par autres classe j'entends terminal L (spé maths).
    Quand j'ai répondu a noémi j'ai voulu dire qu'il fallait que je trouve 1 pour faire : 1+12 = 13 (mod13) et donc 0 mod 13

    D'accord pour le conseil en fait j'aai fait ca :
    10puissance 2010 = 10puiss. 20110puiss10
    =10puiss67
    10puiss4*10puiss10


  • N

    nany.star
    Zauctore
    Re bonjour nanystar

    1. ok, tu ne connais pas petit fermat

    2. par contre, peux-tu préciser ce que tu entends par "Autres classes" ?

    3. la réponse que tu donnes à la question de Noemi n'est pas satisfaisante :

    10² ≡ 9 [13]
    10³ ≡ 12 [13]
    etc.

    c'est loin de faire toujours 1 n'est-ce pas.

    il se trouve que pour répondre à ton problème, il suffit de montrer que 10201010^{2010}102010 ≡ 1 [13] ; c'est pour cela que Noemi t'a demandé de regarder du côté des restes modulo 13 des puissances de 10.

    Alors, par autres classe j'entends terminal L (spé maths).
    Quand j'ai répondu a noémi j'ai voulu dire qu'il fallait que je trouve 1 pour faire : 1+12 = 13 (mod13) et donc 0 mod 13

    D'accord pour le conseil en fait j'aai fait ca :
    10puissance 2010 = 10puiss. 20110puiss10
    =10puiss67
    10puiss4*10puiss10

    A non j'ai trouvé autre chose !
    10puiss 2010 = (10puiss 12)puiss 167
    =1 mod 13
    donc 1+12 =13 mod 13 = 0 mod 13


  • Zauctore

    tu écris 2010 = 12×167 + 6 : il y a un reste.

    donc 10201010^{2010}102010 = (10(10(10^{12})167)^{167})167×10610^610610610^6106 [13]

    comment gères-tu le 10610^6106 modulo 13 ?

    Rq : 101210^{12}1012 ≡ 1 mod 13 c'est un cas particulier du petit théorème de Fermat.


  • N

    10 puiss 6 :1(mod 13)
    1*1 +12 = 13(mod 13)
    =0 mod 13


  • Zauctore

    Voilà c'est tout bon (il ne fallait pas passer à côté du 1 000 000 ≡ 1 mod 13).

    @+


  • N

    Zauctore
    Voilà c'est tout bon (il ne fallait pas passer à côté du 1 000 000 ≡ 1 mod 13).

    @+

    Merci beaucoup pour votre aide !
    bonne soirée


  • Zauctore

    Également !


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