problème de dérivation : suites récurrente et auxiliaire

bonjour, j'ai commencé un exercice mais j'ai un peu de mal a le comprendre j'espère que quelqu'un pourra m'aider
I/ soit F définie sur I=[0;2] par f(x)=(2x+1)/(x+1)

étudier les variations de f sur I. Monter que si x∈I alors f(x)∈I

donc pour cette question je ne pense pas avoir eu trop de problème j'ai dérivé f(x) puis fais le tableau

Montrer à l'aide d''un raisonnement par récurrence que:
pour tout entier naturel n, 1≤Vn≤2; pour tout entier naturel n, Vn+1≤Vn
on admettra de la meme façon que l'on peut démontrer que:
pour tout entier naturel n, 1≤Un≤2; pour tout entier naturel n, Un≤Un+1

donc le je ne comprend pas trop comment m'y prendre car on a même pas l'équation Vn

Montrer que pour tout entier naturel n, Vn+1-Un+1=(Vn-Un)/(Vn+1)(Un+1)
donc cette question j'ai réussi mais après il me demande:
En déduire que pour tout entier naturel n, Vn-Un≥0 et Vn+1-Un+1≤1/4(Vn-Un)

le je ne comprend pas trop comment mis prendre

Montrer que pour tout entier naturel n, Vn-Un≤(1/4)^n. En déduire la limite de Vn-Un
Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers un meme réel A . Déterminer la valeur de a.

pour cette question je suppose qu'il faut utiliser le théorème des comparaisons mais je ne comprend pas comment

merci d'avance pour votre aide

Bonjour,

C'est Vn + 1 ou $V_{n+1}$ ?

c'est Vn+1

tout attaché

Si c'est $V_{n+1}$ , il manque l'expression de $V_n$ .

non justement c'est ca qui me pose problème car l'énoncé est tel quel

personne ne peut m'aider? car je tente de chercher mais rien ne me vient

Vérifie l'énoncé, il doit y avoir un lien avec la fonction de départ.

il est vrai que j'ai oublié d'indiquer une question mais qui est en rapport avec un graphique mais mon énoncé complet et exact est:

I/ soit F définie sur I=[0;2] par f(x)=(2x+1)/(x+1)

étudier les variations de f sur I. Monter que si x∈I alors f(x)∈I
Montrer à l'aide d''un raisonnement par récurrence que:
pour tout entier naturel n, 1≤Vn≤2; pour tout entier naturel n, Vn+1≤Vn
on admettra de la meme façon que l'on peut démontrer que:
pour tout entier naturel n, 1≤Un≤2; pour tout entier naturel n, Un≤Un+1

A) le graphique ci dessous représente la fonction f sur l'intervalle I. Construire sur l'axe des abscisses les 3 premiers termes de chacune des suites (Un) et (Vn) en laissant apparents tous les traits de construction. A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (Un) et (Vn)?

Montrer que pour tout entier naturel n, Vn+1-Un+1=(Vn-Un)/(Vn+1)(Un+1)

En déduire que pour tout entier naturel n, Vn-Un≥0 et Vn+1-Un+1≤1/4(Vn-Un)

Montrer que pour tout entier naturel n, Vn-Un≤(1/4)^n. En déduire la limite de Vn-Un
Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers un meme réel A . Déterminer la valeur de a.

Difficile sans les expressions des suites.
Comment as-tu résolu la question 3) ?

oui je trouve ce problème assé dur!
pour la question " je n'ai fait que le bédut:
Vn+1-Un+1= (2Vn+1)/(Vn +1)-(2Un+1)/(Vn +1)
la vous pouvez remarquer que en dessous des traits de fractions c'est Vn +1 et non Vn+1 et pareil pour Un
=(2Vn+1)(Un+1)-(2Un+1)(Vn+1)/(Un +1)(Vn +1)
et donc on trouve bien
=(Vn-Un)/(Un +1)(Vn +1)

j'ai eu quelques indications par mon professeur pour la suite de la question 3 et la question 4:
3) par récurrence en utilisant notamment que f est croissante

et Vn+1-Un+1<1/4(Vn-Un)
4) par récurrence en utilisant la dernière inégalité du c.

a vrai dire ca ne m'aide pas trop mais peut etre que vous oui

Il doit sans doute y avoir quelque part $U_{n+1}$ = $f(U_n$ ) et la définition de $V_n$ à partir de $U_n$ .

Saurais-tu confirmer, zoé et écrire les suites à l'aide du bouton Indiceci-dessous ? Merci.

oui effectivement il manquait une phrase important sur mon énoncé:
(Un) et (Vn) sont deux suites définies sur N par
Uo=1 et quelque soit n∈N Un+1=f(Un)
Vo=2 et quelque soit n∈N Vn+1=f(Vn)

veuillez me pardonner pour cette oubli je suis vraiment désolée

Pas de problème ; comme ça l'exercice devient faisable

L'un de nous s'en occupera d'ici peu.

merci beaucoup j'attends votre aide avec impatience

Pour la question 2 :

Les variations de f entre 0 et 2 montrent que pour tout x compris entre ces deux nombres, on a 0 ≤ f(x) ≤ 2.

C'est ce qui permet de montrer que $V_n$ ) a tous ses termes compris entre 0 et 2. En effet $V_{n+1}$ = $f(V_n$ ) n'est-ce pas... je te laisse mettre en forme la récurrence ?

Bonjour,

Pour la partie graphique j'ai fait une fiche sur ce forum : http://www.mathforu.com/cours-93.html

tu nous dit ce que tu comprends ou pas

le graphique que j'ai sur mon énoncé n'est pas comme le votre et je n'ai pas vraiment compris votre explication

pour la question 2 j'ai fait:
rang 1<Vn<2
f(Vk)=Vk+1=2Vk+1/Vk +1
2<2Vk<3
3<2Vk+1<4
2<Vk+1<3
1/3<1/Vk+1<1/2
1/3+3<2Vk+1/Vk +1<1/2*4
1<Vk+1<2

donc quelque soit n, 1<Vn<2
ai-je juste?

mais comment aprés dire que Vn+1≤Vn?