Etude complète d'une fonction avec racine carrée

Bonjour ! J'ai un exercice de maths que je n'arrive pas à résoudre seule. J'ai réussi toute la question 1/a)b)c), par contre, je bloque à la question 2/a), je ne vois vraiment pas comment faire, et c'est pour ça que je sollicite votre aide !
Merci d'avance !

Le plan P est muni d'un repère orthonormé (O; vecteur e1, vecteur e2)

Soit f la fonction définie sur [0;1] par : f(x) = x - 2Ѵx + 1
et (C) sa courbe représentative dans le repère (O; vecteur e1, vecteur e2)

a) Etudier les variations de la fonction f
b) Démontrer que, pour tout x appartenant à l'intervalle [0;1] : (f o f)(x) = x
Que peut-on déduire pour la courbe (C) ?
c) Construire la courbe (C)

On considère les points Aλ de coordonnées (1/2 + λ, 0) et Bλ de coordonnées (0, 1/2 - λ) où λ est un paramètre réel de l'intervalle [-1/2;1/2].
On note Dλ la droite déterminée par les points Aλ et Bλ.

a) Déterminer une équation de Dλ sous la forme a(λ)x + b(λ)y + c(λ) = 0 où a,b et c sont trois fonctions dérivables de la variable λ que l'on déterminera.

b)Soit D'λ la droite d'équation a'(λ)x + b'(λ) + c'(λ) = 0 où a', b' et c' désignent les fonctions dérivées respectives de a, b et c.

Vérifier que, pour tout valeur de λ dans l'intervalle [-1/2;1/2], Dλ et D'λ sont sécantes en un point Mλ.
Démontrer que les coordonnées (xλ, yλ) de Mλ sont :

xλ = (1/2 + λ)² et yλ = (1/2 - λ)²

c) Démontrer que, lorsque λ décrit l'intervalle [-1/2;1/2], le point Mλ décrit la courbe (C) définie dans la question 1

d) Démontrer que, pour tout λ appartenant à l'intervalle [-1/2;1/2], la droite Dλ est tangente en Mλ à la courbe (C)

Bonjour,

Comment détermine t-on l'équation d'une droite à partir des coordonnées de deux points ?

Noemi
Bonjour,

Comment détermine t-on l'équation d'une droite à partir des coordonnées de deux points ?

Bonjour !
Il faut faire un système de deux équations grâce aux coordonnées de A et de B, non ? car c'est ce que j'ai fait.. mais ça me donne un truc totalement compliqué avec les lambdas..

Indique tes calculs.

Alors j'ai :
a(λ)*(1/2 +λ) + b(λ)*0 + c(λ) = 0 (1/2 + λ)a(λ) + c(λ) = 0
a(λ)0 + b(λ)(1/2 -λ) + c(λ) = 0 (1/2 - λ)b(λ) + c(λ) = 0

c(λ) = (1/2 + λ)a(λ)
(1/2 - λ)b(λ) = (1/2 + λ)a(λ)

Et là, je me rends compte que ça ne mène pas forcément à grand chose..

exprime a(λ) et b(λ) en fonction de c(λ) et remplace ces expressions dans l'équation de la droite.

Donc, si j'ai bien compris, j'ai :

c(λ) = -(1/2 + λ)a(λ)
c(λ) = -(1/2 - λ)b(λ)

Donc -(1/2 + λ)a(λ) = -(1/2 - λ)b(λ)

C'est bien ça que vous me demandiez ?

Non
c(λ) = -(1/2 + λ)a(λ); soit a(λ) = ...
c(λ) = -(1/2 - λ)b(λ); soit b(λ) = ...

Ah pardon

a(λ) = [c(λ)] / (-1/2-λ)
b(λ) = [c(λ)] / (-1/2+λ)

Remplace ces expressions dans l'équation de la droite.

(1/2 + λ)a(λ) + c(λ) = 0
(1/2 - λ)b(λ) + c(λ) = 0

a(λ) = [c(λ)] / (-1/2-λ)
b(λ) = [c(λ)] / (-1/2+λ)

ça donnerait donc ..
(1/2 + λ)[c(λ)] / (-1/2-λ)+ c(λ) = 0
(1/2 - λ)[c(λ)] / (-1/2+λ) + c(λ) = 0

donc 2c(λ) = 0
c(λ) = 0
donc c = 0 ?

Non,
remplace dans l'équation : a(λ)x + b(λ)y + c(λ) = 0

[c(λ)] / (-1/2-λ)+ [c(λ)] / (-1/2+λ) + c(λ) = 0
En développant etc, je trouve :
-c(λ) + (1/4 - λ²) c(λ) = 0

et x et y

[c(λ)] x/ (-1/2-λ)+ [c(λ)] y/ (-1/2+λ) + c(λ) = 0
Soit
x / (-1/2-λ)+ y / (-1/2+λ) + 1 = 0

Ah oui ! J'ai oublié le x et le y..
Cependant, je ne comprends pas.. On cherche a, b et c non ? Ils sont pourtant absents de la dernière équation !

Oh non ! Je crois que j'ai enfin compris !
On a donc :
(-1/2+λ)x + (-1/2-λ)y + 1 = 0

Donc a = 1/2
b=-1/2
et c = 1
?

L'équation est :
x / (-1/2-λ)+ y / (-1/2+λ) + 1 = 0
Tu peux la modifier en réduisant au même dénominateur
en écrivant les conditions sur λ cela deveint
(-1/2+λ)x + ....

(-1/2+λ)x + (-1/2-λ)y + 1 = 0
Donc, on a a(λ) = -1/2+λ
b(λ) = -1/2-λ
c(λ) = 1 ?

Pour la question 2/b), je dois donc dériver ces fonctions ? Ce qui donnerait :
a'(λ) = 1
b'(λ) = -1
c'(λ) = 0 ?

Le c(λ) est faux

(-1/2+λ)x + (-1/2-λ)y + (-1/2+λ)(-1/2-λ) = 0

AH oui ! Mince ! Merci !

Ce qui donne pour la question 2/b) :
a'(λ) = 1
b'(λ) = -1
c'(λ) = 1/2 - 2λ

Ah non, pour c'(λ) ce serait plutôt égal à 1- 2λ !

Donc
Dλ est la droite d'équation : (-1/2+λ)x + (-1/2-λ)y + (-1/2+λ)(-1/2-λ) = 0
Soit la droite d'équation : (-1/2+λ)x + (-1/2-λ)y + (1/4 - λ²) =0

Et D'λ la droite d'équation : x - y + 1-λ = O ?

Ensuite je cherche à montrer que D'λ et Dλ sont sécantes sauf que.. j'obtiens que y = 3/4 - 2λ + λ² donc, le 3/4 est faux, je devrais trouver 1/4..
et pour x, je trouve x= 5/4 + λ² , donc je dois m'être trompée dans les équations..

L'erreur :
c'(λ) = - 2λ

Oui ! Je n'ai trouvé qu'après! Merci ^^.
J'ai donc fini la question 2/b, j'ai trouvé le point M et j'ai prouvé que les droites étaient bien sécantes..
Mais maintenant.. comment démarrer la question c) svp ?