Suite double et récurrence

[hlne85]

Soient les suites $(u$n$)</em>n\in N$ et $(v$n$)</em>n\in N$ définies par $u_0$=2 ; $v_0$=-3 ; $u$_{n+1}$=-u$n$-v_n$ et $v${n+1}$=(4/3)u$_n$+(5/3)v_n$ pour tout entier naturel n.
Le réel k étant fixé, soit la suite $(t$n$)</em>n\in N$ définie par $t$_n$=u$_n$+k{v}_n$
a) Démontrer qu'il existe deux valeurs de $k_1$ et $k_2$ de k pour lesquelles $(t$n$)</em>n\in N$ est géométrique
b) On note $(t$^1$$n$){n∈N}$ $et(t$^2$$n$){n∈N}$ les suites $(t$n$)</em>n\in N$ associées. Calculer, pour n entier naturel, $t$^1${}_n$, $t$^2${}_n$, $u_n$ et $v_n$
c) Déterminer les limites de $(u$n$)</em>n\in N$ et $(v$n$)</em>n\in N$

Je n'ai réussi que la question a) je ne comprend pas la b) et la c) je ne sais pas je pense que si j'arrive la b) je trouverai peut-être la c)

[Thierry]

Salut,

Pour la b) tu as trouvés 2 valeurs possibles de k
$(t$^1${}_n$) est la suite géométrique correspondant à la première valeur de k.
$(t$^2${}_n$) est la suite géométrique correspondant à la seconde valeur de k.

Toutes les deux étant des suites géométriques, il suffit d'appliquer les formules du cours correspondantes.

[hlne85]

Merci

[hlne85]

Je n'arrive pas calculer $u_n$ et $v_n$ pour n entier naturel

[Zorro]

Bonjour,

Si $(v_n$) est une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison q , alors pour tout n on a :

$v_n$ = $v_0$ $q^n$

A toi de continuer !

[Thierry]

$(V_n$) n'est pas géométrique a priori.

Il faut que tu résolves un système de 2 équations données par $t$_n$=u$_n$+k{v}_n$ (1 équation pour chaque valeur de k) dans lequel les inconnues sont $u_n$ et $v_n$.

[hlne85]

J'ai fait le système $t$^1$$_n$=u${}_n$+(1/2)v_n$
$t$^2$$_n$=u${}_n$+(3/2)v_n$
mais je ne sais pas le résoudre :S

[Thierry]

Fais une ligne moins l'autre pour éliminer $u_n$

[hlne85]

Maintenant je bloque a la question c) psk je sais pas cmt faire la limite qd n n'apparait qu'en puissance

[Thierry]

hlne85
Maintenant je bloque a la question c) psk je sais pas cmt faire la limite qd n n'apparait qu'en puissanceen français ça donne quoi ?

[hlne85]

$v$_n$=(-5/2)-((-1)$^n$/2<em>3^n$)
$u$_n$=(5/2)-(4(-1)$^n$/4</em>3^n$)

[hlne85]

et j'arrive pas à faire la limite de ces 2 suites

[Thierry]

Je ne suis pas certain de comprendre correctement les expressions de $u_n$ et $v_n$ que tu donnes.

Mais manifestement il faut que tu te serves des propriétés :
lim $q^n$=0 si -1 < q < 1
lim $q^n$=+∞ si q > 1

Avec -1≤$(-1{)}^n$≤1 il est possible aussi que tu aies besoin d'utiliser le théorème des gendarmes.