Suite double et récurrence


  • H

    Soient les suites (u(u(un)</em>n∈N)</em>{n∈N})</em>nN et (v(v(vn)</em>n∈N)</em>{n∈N})</em>nN définies par u0u_0u0=2 ; v0v_0v0=-3 ; uuu_{n+1}=−u=-u=un−vn-v_nvn et vvv{n+1}=(4/3)u=(4/3)u=(4/3)u_n+(5/3)vn+(5/3)v_n+(5/3)vn pour tout entier naturel n.
    Le réel k étant fixé, soit la suite (t(t(tn)</em>n∈N)</em>{n∈N})</em>nN définie par ttt_n=u=u=u_n+kvn+kv_n+kvn
    a) Démontrer qu'il existe deux valeurs de k1k_1k1 et k2k_2k2 de k pour lesquelles (t(t(tn)</em>n∈N)</em>{n∈N})</em>nN est géométrique
    b) On note (t(t(t^1$$n$)
    {n∈N}$ et(tet(tet(t^2$$n$)
    {n∈N}$ les suites (t(t(tn)</em>n∈N)</em>{n∈N})</em>nN associées. Calculer, pour n entier naturel, ttt^1n_nn, ttt^2n_nn, unu_nun et vnv_nvn
    c) Déterminer les limites de (u(u(un)</em>n∈N)</em>{n∈N})</em>nN et (v(v(vn)</em>n∈N)</em>{n∈N})</em>nN

    Je n'ai réussi que la question a) je ne comprend pas la b) et la c) je ne sais pas je pense que si j'arrive la b) je trouverai peut-être la c)


  • Thierry
    Modérateurs

    Salut,

    Pour la b) tu as trouvés 2 valeurs possibles de k
    (t(t(t^1n_nn) est la suite géométrique correspondant à la première valeur de k.
    (t(t(t^2n_nn) est la suite géométrique correspondant à la seconde valeur de k.

    Toutes les deux étant des suites géométriques, il suffit d'appliquer les formules du cours correspondantes.


  • H

    Merci


  • H

    Je n'arrive pas calculer unu_nun et vnv_nvn pour n entier naturel


  • Zorro

    Bonjour,

    Si (vn(v_n(vn) est une suite géométrique de premier terme v0v_0v0 et de raison q , alors pour tout n on a :

    vnv_nvn = v0v_0v0 qnq^nqn

    A toi de continuer !


  • Thierry
    Modérateurs

    (Vn(V_n(Vn) n'est pas géométrique a priori.

    Il faut que tu résolves un système de 2 équations données par ttt_n=u=u=u_n+kvn+kv_n+kvn (1 équation pour chaque valeur de k) dans lequel les inconnues sont unu_nun et vnv_nvn.


  • H

    J'ai fait le système ttt^1$$_n$=un_nn+(1/2)v_n$
    ttt^2$$_n$=un_nn+(3/2)v_n$
    mais je ne sais pas le résoudre :S


  • Thierry
    Modérateurs

    Fais une ligne moins l'autre pour éliminer unu_nun


  • H

    Maintenant je bloque a la question c) psk je sais pas cmt faire la limite qd n n'apparait qu'en puissance


  • Thierry
    Modérateurs

    hlne85
    Maintenant je bloque a la question c) psk je sais pas cmt faire la limite qd n n'apparait qu'en puissanceen français ça donne quoi ?


  • H

    vvv_n=(−5/2)−((−1)=(-5/2)-((-1)=(5/2)((1)^n/2<em>3n/2<em>3^n/2<em>3n)
    uuu_n=(5/2)−(4(−1)=(5/2)-(4(-1)=(5/2)(4(1)^n/4</em>3n/4</em>3^n/4</em>3n)


  • H

    et j'arrive pas à faire la limite de ces 2 suites


  • Thierry
    Modérateurs

    Je ne suis pas certain de comprendre correctement les expressions de unu_nun et vnv_nvn que tu donnes.

    Mais manifestement il faut que tu te serves des propriétés :
    lim qnq^nqn=0 si -1 < q < 1
    lim qnq^nqn=+∞ si q > 1

    Avec -1≤(−1)n(-1)^n(1)n≤1 il est possible aussi que tu aies besoin d'utiliser le théorème des gendarmes.


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