3. Un exercice sur les nombres complexes

Un exercice sur les nombres complexes

  • K

    Bonsoir à tous !

    J'ai un exercice qui me pose quelques soucis car il ne faut pas se tromper dans le calcul, l'exercice est la suivant :

    On pose z=x+iy où x et y sont deux nombres réels et z=z+iz−iz=\frac{z+i }{z-i }z=z−iz+i​.

    1°)
    Déterminer Re(z) et Im(z) en fonction de x et y

    <img style="vertical-align:middle;" alt="Z = \frac{z+i}{z-i} = \frac{(x+iy)+i}{(x+iy)-i} = \frac{x+i(1+y)}{x+i(1-y)} = \frac{x}{x+i(y-1)}+\frac{i(1+y)}{x+i(y-1)} = \frac{x[x-i(y-1)]}{[x+i(y-1)][x-i(y-1)]}+\frac{[i(1+y)][x-i(y-1)]}{[x+i(y-1)][x-i(y-1)]} = \frac{x^2-ix(y-1)}{x^2+y^2-2y+1}+\frac{ix(1+y)-i^2(1+y)(y-1)}{x^2+y^2-2y+1} = \frac{x^2+y^2+2ix-1}{x^2+y^2-2y+1}
    " title="Z = \frac{z+i}{z-i} = \frac{(x+iy)+i}{(x+iy)-i} = \frac{x+i(1+y)}{x+i(1-y)} = \frac{x}{x+i(y-1)}+\frac{i(1+y)}{x+i(y-1)} = \frac{x[x-i(y-1)]}{[x+i(y-1)][x-i(y-1)]}+\frac{[i(1+y)][x-i(y-1)]}{[x+i(y-1)][x-i(y-1)]} = \frac{x^2-ix(y-1)}{x^2+y^2-2y+1}+\frac{ix(1+y)-i^2(1+y)(y-1)}{x^2+y^2-2y+1} = \frac{x^2+y^2+2ix-1}{x^2+y^2-2y+1}
    " src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?Z = \frac{z+i}{z-i} = \frac{(x+iy)+i}{(x+iy)-i} = \frac{x+i(1+y)}{x+i(1-y)} = \frac{x}{x+i(y-1)}+\frac{i(1+y)}{x+i(y-1)} = \frac{x[x-i(y-1)]}{[x+i(y-1)][x-i(y-1)]}+\frac{[i(1+y)][x-i(y-1)]}{[x+i(y-1)][x-i(y-1)]} = \frac{x^2-ix(y-1)}{x^2+y^2-2y+1}+\frac{ix(1+y)-i^2(1+y)(y-1)}{x^2+y^2-2y+1} = \frac{x^2+y^2+2ix-1}{x^2+y^2-2y+1}
    ">

    Voila ce que je trouve.. J'espere que vous pourrez m'aider à trouver mon erreur.

    2°)
    Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z soit un nombre réel. Représenter cet ensemble dans le plan complexe.

    3°)
    Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z soit imaginaire pur. Représenter cet ensemble dans le plan complexe.

    Merci d'avance pour votre aide !

    Thierry 1 réponse
  • Thierry
    Modérateurs

    Salut,

    (x+iy)+i(x+iy)−i=x+i(1+y)x+i(y−1)\frac{(x+iy)+i}{(x+iy)-i} = \frac{x+i(1+y)}{x+i(y-1)}(x+iy)−i(x+iy)+i​=x+i(y−1)x+i(1+y)​

    (je déplace ton topic en Terminale S)

    Thierry 1 réponse
  • Thierry
    Modérateurs

    A part cette étourderie ton calcul est bon jusqu'au bout. En laissant la forme réduite au dénominateur, cela te donne
    x2+y2+2ix−1x2+(y−1)2=x2+y2−1x2+(y−1)2+i2xx2+(y−1)2\frac{x^2+y^2+2ix-1}{x^2+(y-1)^2}=\frac{x^2+y^2-1}{x^2+(y-1)^2}+i\frac{2x}{x^2+(y-1)^2}x2+(y−1)2x2+y2+2ix−1​=x2+(y−1)2x2+y2−1​+ix2+(y−1)22x​
    Cette dernière écriture fait clairement apparaître partie réelle et partie imaginaire (contrairement à la tienne).

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