Déterminer un encadrement d'une fonction et déduire sa nature

Bonjour,
J'ai à rendre pour demain un DM de maths que j'essaye en vain depuis 1 semaine de résoudre ( enfin plus exactement un des exercices)
L'énoncé est le suivant :

Soit f une fonction définie sur ]- ∞;0[ et vérifiant, sur cet intervalle :

1/(x+1) ≤ f(x) ≤ 1/x²

on considère* b* strictement positif,

Calculer en fonction de b un réel a1 tel que : pour tout x inférieur à a1 : 1/x²<b
( moi a cette question j'ai trouvée a1 =( -√(b) ) / b

2)Calculer en fonction de b un réel a2 tel que : pour tout x inférieur à a2 : 1/(1+x)>-b
(pour celui là j'ai trouvé a2 = (- 1/b) - 1

En déduire qu'on peut determiner un réel a tel que pour x inférieur à a : -b<f(x)<b.
Ceci étant possible quel que soit le réel b choisi, quelle propriété de la fonction f a t-on ainsi démontrée?

Je vous en suppli aidez moi

Bonjour,
Relis ton énoncé : il y a plusieurs phrases incomplètes.

oui ça a bugé dsl y a :
dans la question 2)
1/x²inférieur a b ,
dans la 3) : tel que pour tout x<a :
-b (inférieur a) f(x) (inférieur a) b .

Oui, ça je l'ai vu : c'est la suite des phrases qui manque.
Peux-tu écrire entièrement la question 1 ( seulement elle ) ?
La question, pas la réponse.

Tu as modifié ton précédent message.
On a bien a1 = -√b/b qu'on peut aussi écrire -1/√b

alors Calculer en fonction de b un réel a1 tel que : pour tout x strictement inférieur à a1, 1/(x²) soit inférieur a b

( c 'est mots pour mots ce qui est écrit !! :S )

Citation
Tu as modifié ton précédent message.
On a bien a1 = -√b/b qu'on peut aussi écrire -1/√b

Et pour a2, je trouve comme toi.
Pour la question 3 , quelle valeur de a peut-on choisir ?

ben justement je sait pas du tout quoi faire mais j'ai essayé en faisant un système mais vu que j'ai a1 et a2 je sait pas comment faire pour en déduire un a

Résumons :
Soit b >0
Il existe a1 tel que x < a1 ⇒ 1/x² -b
Donc si x est
à la foisinférieur à a1 et a2, on aura les deux inégalités.
Alors comment choisir a à partir de a1 et a2 ?

moi j ai essayé de trouver sortir b et -b ça m'as donnée :
b=-1/(1+a2) et b=1/(a1²)
( mais je suis pas sure et c'est ça mon système)

Ca ne sert à rien : c'est a qu'on cherche, pas b qui est donné.
Soit a l
e plus petitdes deux nombres a1 et a2.
Si x < a alors x < a1 et aussi x < a2
Donc 1/x² -b.
Qu'en résulte-t-il sur f(x) ? ( inégalités ).

je sait pas =$

Soit b >0
Si x < a alors : 1/x² -b
que j'écris : -b < 1/(1+x) < 1/x² 0, il existe a ( négatif ) tel que si x < a alors -b < f(x) < b.

tu comprends ?
Vois-tu ce que cela traduit sur f ?

je vois pas ou est le a !!!

1/(x+1)≤a≤1/(x²)???????

Je définis a comme le plus petit des deux nombres a1 et b1.
Citation
Si x < a alors x < a1 et aussi x < a2
Donc 1/x² -b.
Citation
Soit b >0
Si x < a alors : 1/x² -b
ce que j'écris : -b < 1/(1+x) < 1/x² 0, il existe a ( négatif ) tel que si x < a alors -b < f(x) < b.
Comprends-tu ce raisonnement ?

ouii ca je comprend

Alors je reprends juste la conclusion :
Citation
Pour tout b > 0, il existe a ( négatif ) tel que si x < a alors -b < f(x) < b.Vois-tu ce que cela veut dire pour f(x) ?
Imagine qu'au lieu de la lettre b on ait écrit la lettre ε : tu n'as rien vu de semblable en cours ?

non on travaille sur les limites ( je pense que veux nous faire démontré le théorème des gendarmes mais là j arrive vraiment pas c'est pas mon habitude de demander autant d'aide comme ça mais là vraiment j'y arrive pas )
C'est pas ce que j'ai dit ??

on a x<a<0
mais b>0 ?? ( pfff j' y arrive pas c'est vide pour moi =$)

Précisément, il s'agit d'une certaine limite.
On "coince" f(x) entre -b et b ( donc autour de 0 ) , à condition que x ( qui est négatif ) soit inférieur à un certain a.
Cela traduit quelle sorte de limite ?

qu'est que vous entendez par quelle sortes ?

Selon qu'il s'agit d'une limite finie ou infinie lorsque x tend vers un nombre fini ou l'infini.

ben vu qu'on a cet encadrement quand on tend vers un infini ca va tendre vers un fini
et a l inverse quand on tend vers un fini ( fin c'est bizarre parce que lorsqu'on tend vers 0 1/x² tend vers un infini mais 1/(x+1) tend vers un nombre fini en l occurence 1

C'est confus.
Quand x tend vers 0, 1/x² tend vers +∞ et 1/(1+x) tend vers 1. Moralité, dans ce cas ( x tend vers 0 ) , on ne peut rien dire de f(x).
Par contre, que se passe-t-il lorsque x tend vers l'infini ? ( au fait : -∞ ou +∞ ?)

oui c'est ce que je trouvé bizarre que l'un tendent vers +∞ et l'autre vers 1.

lorsque x tend vers +∞ ; 1/x² tend vers 0
et 1/(x+1) tend aussi vers 0 ( jai meme envie de dire 0 + )
et de meme pour -∞ sauf que c'est 0 -

Et non, tu oublies que dans tout ce problème, x est négatif.
Donc, si tu cherches une limite en l'infini, ce ne peut être que lorsque x tend vers
moinsl'infini.
Quelle est alors la limite de f(x) ?

ah oui je suis bête !! la on utilise le théorème des gendarmes la limite c'est 0- ( mais c est pas ce qu'on cherche a demontrer ?? )
je comprend toujours pas ou est le a dans cet histoire

1)La limite est 0, mais pas 0- : f(x) peut être positif car si 1/(x+1) est négatif pour x très petit ( tendant vers -∞ ), 1/x² en revanche est positif.
2) Compte tenu de ce que tu m'as dit précédemment, tu ne sembles pas connaître la définition exacte de : "f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers -∞".
Si je me trompe, écris cette définition de façon précise ( cours ).

j'ai dis que la lim f(x) quand x tend vers -∞ c'est 0
car lim 1/x² = 0-
et lim 1/(x+1) = 0-
??? c est pas ca

et pour f(x) tend vers 0 heu la je sait pas parce que je trouve lim 1/(x+1) = 1 et que lim 1/x² ( pour 0-) = +∞

lim 1/x² = 0+ : un carré est toujours positif.
Donc limite f(x) quand x tend vers -∞ vaut 0 ( mais pas 0+ ni 0- : on n'en sait rien ).
Mais ce n'est pas la question que je t'ai posée : sais-tu écrire la définition de : "f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers -∞" ?

je sait pas si c'est de ca que vous parlez mais cela veut dire qu'il existe un réel ∑ tres proche de 0 dans lequel toutes les valeurs de f(x) sont comprise entre [0-∑ et 0+∑] si l'on prend les x suffisament grand et négatif

Dit autrement : pour tout ∑>0 ( proche de 0) , on peut trouver un nombre a négatif ( suffisamment grand en valeur absolue ) , tel que si x est plus petit que a, alors f(x) sera dans l'intervalle [0-∑ ; 0+∑] c'est-à-dire entre -∑ et +∑.
Remplace ∑ par b et tu auras ce qui a été démontré dans le problème :
pour tout b positif , il existe a ( négatif) tel que si x < a alors -b < f(x) < b.
C'est la même chose et cela se traduit donc par le fait que
f(x) → 0 quand x → -∞

ca j'ai compris.
On nous demande de trouver a comment on fait en sachant tout ca ?

On revient en arrière !
A partir de b, on a trouvé a1.
Puis on a trouvé a2.
On les connait donc.
J'ai dit qu'il suffisait de choisir pour a le plus petit des deux nombres a1 et a2 : peu importe lequel pourvu que ce soit le plus petit.
Exemple, si b = 0.01 alors a1 = -10 et a2 = -101 : donc a = -101, le plus petit.

oui mais la on prend un cas concret ca marche pour tout les réels a ??

Ca marche pour tous les réels b.
J'ai b.
Je trouve a1 : j'ai a1.
Je trouve a2 : j'ai a2.
Je prends le plus petit des deux : j'ai a.

d'accord !! mais ça veut dire que ca peut varier en fonction de la valeur de b ?mais si j'écrit sur ma copie qu' '' il suffit de choisir a le plus petit des deux réels a1 et a2 '' on va pas me demander une equation ou une inéquation pour le formules ?

Non : Entre deux nombres quelconques, il y en a toujours un qui est plus petit que l'autre ( s'ils sont égaux peu importe lequel ).
On dit que l'ensemble R est totalement ordonné par la relation "<" usuelle.
Bien sûr, le résultat dépend de b : plus b sera "petit" , plus a sera grand en valeur absolue ( et négatif ).
Autrement dit, il faut éloigner davantage x vers -∞ si on veut que f(x) soit d'autant plus "proche" de 0.

m ouais d'accord donc le théorème démontré c'est celui des gendarmes ? mais uniquement sur -∞?

On ne démontre pas ici le théorème des gendarmes : c'est un théorème de cours que l'on peut d'ailleurs utiliser.
Mais il me semble plutôt que l'objectif de cet exercice est de te faire appliquer la définition de la limite :
Pour tout b positif , il existe a ( négatif) tel que si x < a alors -b < f(x) < b.
Ce qui signifie que f(x) → 0 quand x → -∞