exercice sur les limites



  • Bonjour,
    J'ai à rendre pour demain un DM de maths que j'essaye en vain depuis 1 semaine de résoudre ( enfin plus exactement un des exercices)
    L'énoncé est le suivant :

    Soit f une fonction définie sur ]- ∞;0[ et vérifiant, sur cet intervalle :

    1/(x+1) ≤ f(x) ≤ 1/x²

    on considère* b* strictement positif,

    1. Calculer en fonction de b un réel a1 tel que : pour tout x inférieur à a1 : 1/x²<b
      ( moi a cette question j'ai trouvée a1 =( -√(b) ) / b

    2)Calculer en fonction de b un réel a2 tel que : pour tout x inférieur à a2 : 1/(1+x)>-b
    (pour celui là j'ai trouvé a2 = (- 1/b) - 1

    1. En déduire qu'on peut determiner un réel a tel que pour x inférieur à a : -b<f(x)<b.

    2. Ceci étant possible quel que soit le réel b choisi, quelle propriété de la fonction f a t-on ainsi démontrée?

    Je vous en suppli aidez moi



  • Bonjour,
    Relis ton énoncé : il y a plusieurs phrases incomplètes.



  • oui ça a bugé dsl y a :
    dans la question 2)
    1/x²inférieur a b ,
    dans la 3) : tel que pour tout x<a :
    -b (inférieur a) f(x) (inférieur a) b .



  • Oui, ça je l'ai vu : c'est la suite des phrases qui manque.
    Peux-tu écrire entièrement la question 1 ( seulement elle ) ?
    La question, pas la réponse.



  • Tu as modifié ton précédent message.
    On a bien a1 = -√b/b qu'on peut aussi écrire -1/√b



  • alors Calculer en fonction de b un réel a1 tel que : pour tout x strictement inférieur à a1, 1/(x²) soit inférieur a b

    ( c 'est mots pour mots ce qui est écrit !! :S )



  • Citation
    Tu as modifié ton précédent message.
    On a bien a1 = -√b/b qu'on peut aussi écrire -1/√b

    Et pour a2, je trouve comme toi.
    Pour la question 3 , quelle valeur de a peut-on choisir ?



  • ben justement je sait pas du tout quoi faire mais j'ai essayé en faisant un système mais vu que j'ai a1 et a2 je sait pas comment faire pour en déduire un a



  • Résumons :
    Soit b >0
    Il existe a1 tel que x < a1 ⇒ 1/x² < b
    Il existe a2 tel que x < a2 ⇒ 1/(1+x) > -b
    Donc si x est
    à la foisinférieur à a1 et a2, on aura les deux inégalités.
    Alors comment choisir a à partir de a1 et a2 ?



  • moi j ai essayé de trouver sortir b et -b ça m'as donnée :
    b=-1/(1+a2) et b=1/(a1²)
    ( mais je suis pas sure et c'est ça mon système)



  • Ca ne sert à rien : c'est a qu'on cherche, pas b qui est donné.
    Soit a l
    e plus petitdes deux nombres a1 et a2.
    Si x < a alors x < a1 et aussi x < a2
    Donc 1/x² < b et aussi 1/(1+x) > -b.
    Qu'en résulte-t-il sur f(x) ? ( inégalités ).



  • je sait pas =$ 😢



  • Soit b >0
    Si x < a alors : 1/x² < b et aussi 1/(1+x) > -b
    que j'écris : -b < 1/(1+x) < 1/x² < b
    Mais f(x) est compris entre 1/(1+x) et 1/x², donc , en résumé :
    Pour tout b > 0, il existe a ( négatif ) tel que si x < a alors -b < f(x) < b.

    1. tu comprends ?
    2. Vois-tu ce que cela traduit sur f ?


  • je vois pas ou est le a !!!



  • 1/(x+1)≤a≤1/(x²)???????



  • Je définis a comme le plus petit des deux nombres a1 et b1.
    Citation
    Si x < a alors x < a1 et aussi x < a2
    Donc 1/x² < b et aussi 1/(1+x) > -b.
    Citation
    Soit b >0
    Si x < a alors : 1/x² < b et aussi 1/(1+x) > -b
    ce que j'écris : -b < 1/(1+x) < 1/x² < b
    Mais f(x) est compris entre 1/(1+x) et 1/x², donc , en résumé :
    Pour tout b > 0, il existe a ( négatif ) tel que si x < a alors -b < f(x) < b.
    Comprends-tu ce raisonnement ?



  • ouii ca je comprend



  • Alors je reprends juste la conclusion :
    Citation
    Pour tout b > 0, il existe a ( négatif ) tel que si x < a alors -b < f(x) < b.Vois-tu ce que cela veut dire pour f(x) ?
    Imagine qu'au lieu de la lettre b on ait écrit la lettre ε : tu n'as rien vu de semblable en cours ?



  • non on travaille sur les limites ( je pense que veux nous faire démontré le théorème des gendarmes mais là j arrive vraiment pas c'est pas mon habitude de demander autant d'aide comme ça mais là vraiment j'y arrive pas )
    C'est pas ce que j'ai dit ??

    on a x<a<0
    mais b>0 ?? ( pfff j' y arrive pas c'est vide pour moi =$)



  • Précisément, il s'agit d'une certaine limite.
    On "coince" f(x) entre -b et b ( donc autour de 0 ) , à condition que x ( qui est négatif ) soit inférieur à un certain a.
    Cela traduit quelle sorte de limite ?



  • qu'est que vous entendez par quelle sortes ?



  • Selon qu'il s'agit d'une limite finie ou infinie lorsque x tend vers un nombre fini ou l'infini.



  • ben vu qu'on a cet encadrement quand on tend vers un infini ca va tendre vers un fini
    et a l inverse quand on tend vers un fini ( fin c'est bizarre parce que lorsqu'on tend vers 0 1/x² tend vers un infini mais 1/(x+1) tend vers un nombre fini en l occurence 1



  • C'est confus.
    Quand x tend vers 0, 1/x² tend vers +∞ et 1/(1+x) tend vers 1. Moralité, dans ce cas ( x tend vers 0 ) , on ne peut rien dire de f(x).
    Par contre, que se passe-t-il lorsque x tend vers l'infini ? ( au fait : -∞ ou +∞ ?)



  • oui c'est ce que je trouvé bizarre que l'un tendent vers +∞ et l'autre vers 1.

    lorsque x tend vers +∞ ; 1/x² tend vers 0
    et 1/(x+1) tend aussi vers 0 ( jai meme envie de dire 0 + )
    et de meme pour -∞ sauf que c'est 0 -



  • Et non, tu oublies que dans tout ce problème, x est négatif.
    Donc, si tu cherches une limite en l'infini, ce ne peut être que lorsque x tend vers
    moinsl'infini.
    Quelle est alors la limite de f(x) ?



  • ah oui je suis bête !! la on utilise le théorème des gendarmes la limite c'est 0- ( mais c est pas ce qu'on cherche a demontrer ?? )
    je comprend toujours pas ou est le a dans cet histoire 😃



  • 1)La limite est 0, mais pas 0- : f(x) peut être positif car si 1/(x+1) est négatif pour x très petit ( tendant vers -∞ ), 1/x² en revanche est positif.

    1. Compte tenu de ce que tu m'as dit précédemment, tu ne sembles pas connaître la définition exacte de : "f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers -∞".
      Si je me trompe, écris cette définition de façon précise ( cours ).


  • j'ai dis que la lim f(x) quand x tend vers -∞ c'est 0
    car lim 1/x² = 0-
    et lim 1/(x+1) = 0-
    ??? c est pas ca 😮

    et pour f(x) tend vers 0 heu la je sait pas parce que je trouve lim 1/(x+1) = 1 et que lim 1/x² ( pour 0-) = +∞



  • lim 1/x² = 0+ : un carré est toujours positif.
    Donc limite f(x) quand x tend vers -∞ vaut 0 ( mais pas 0+ ni 0- : on n'en sait rien ).
    Mais ce n'est pas la question que je t'ai posée : sais-tu écrire la définition de : "f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers -∞" ?


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