Etude d'une fonction du second degré et résolution d'équations

Bonjour, j'ai un devoir maison qui concerne le second degré. Je vous donne le sujet ci-dessous :

On considère un demi-cercle de diamètre AB= 8, et on note D le domaine fermé limité par ce demi-cercle et le segment [AB]. M est un point du segment [AB].
On construit les demi-cercles de diamètre [AM] et [MB] de façon à ce que ces demi-cercles soient dans le domaine D.
On pose AM=x. L'aire du domaine fermé, noté E, limité par ces trois demi-cercles est noté f(x), quantité qui varie en fonction de x.

Faire le dessin en prenant comme unité le centimètre; hachurer le domaine E.
Justifier que 0≤x≤8; calculer l'aire du domaine D et démontrer que 0≤f(x)≤8pi.
Démontrer que f(x)= pi/4 ×(8pi-x²)
Calculer f(0) et f(8). Démontrer que pour tout x appartient[0;8] on a:
f(8-x)=f(x).
Déterminer x tel que f(x)=4pi
Comparer f(x) et 4pi. En déduire que l'aire du domaine E est toujours inférieur ou égale à la moitié de l'aire du domaine D; où est donc situé le point M pour que l'aire du domaine E soit maximale?
7)a) Développer la quantité T=(x-4-2√2)(x-4+2√2).
b) Démontrer que, trouver x pour que l'aire du domaine E soit égale au quart de l'aire du domaine D, revient à résoudre l'équation T=0.
c) Résoudre l'équation T=0.
d) Faire un dessin avec les deux positions possibles du point M; colorier de deux couleurs différentes les domaines E correspondants.
Résoudre l'équation f(x)=pi

j'en suis à la question 2 et je suis vraiment bloquée , si quelqu'un pouvait m'éclairer , ce serai d'une grande aide !

Bonsoir,

Question 2)
Le point M appartient au segment [AB], donc x .....
Quelle est l'aire du domaine D ?

L'aire du domaine D est : piR²/2 ce qui donne pi x4²/2 = 25.13cm²
Voila ce que j'ai trouvé

Tu trouves : pi x4²/2 qui est égal à 8 pi, donc tu peux démontrer l'inégalité.

D'accord mais comment faut-il le démontrer ? et même probleme pour la question 3 , je ne sais pas par quoi commencer

Bonjour Nocera,

... en attendant le retour de Noemi ...

Citation
D'accord mais comment faut-il le démontrer ?

Tu as trouvé l'aire du domaine D : D = 8 $p i$ cm² (n'oublie pas l'unité)

Regarde ton dessin question 1)
Le domaine fermé E limité par ces trois demi-cercles est inclus dans le domaine D

donc que peux-tu dire de l'aire de E par rapport à celle de D ?

et comme l'aire de E est notée f(x) et que l'aire de D est égale à 8 $p i$ , tu as l'inégalité recherchée.

Citation
et même probleme pour la question 3 , je ne sais pas par quoi commencer
As-tu fait le dessin convenablement ? Le domaine E doit ressembler à un pont avec deux arches, non ?

L'aire du domaine E que l'on note f(x) correspond à l'aire du domaine D moins l'aire du demi-disque de diamètre AM, moins l'aire du demi-disque de diamètre MB

AM = x d'après l'énoncé

Par rapport à x, à quoi est égal le diamètre MB ?

f(x) = Aire de D - Aire demi-cercle de diam AM - Aire demi-cercle de diam MB

2 remarques :

1] Pour simplifier, mieux vaut rester en diamètre
aire du demi-cercle de diamètre d = $p i$ d²/8

2]
Citation
3) Démontrer que f(x)= pi/4 ×(8
pi-x²)
Tu es sûre du $p i$ , ce ne serait pas un x à la place ?

Le dessin je l'ai rectifier car en effet je pensais que le domaine E était l'aire des 2 petits demi-cercle ..

Et oui pour la question 3 je me suis trompée c'est bien un x a la place

PS : il faut que je m'y mette a fond , dans 2 jours je rend ce DM :$

f(x) = 8pi - pix²/x - 8-pix²/8-x

Est-ce bien cela ?

Le diamètre MB = 8-x

donc

f(x) = 8 $p i$ - $p i$ x²/8 - $p i$ (8-x)²/8

f(x) = 32 $p i$ /4 - $p i$ x²/8 - $p i$ (8-x)²/8 = ...

f(x) = 64pi /8 - pix²/8 - pi(8-x)²/8
f(x) = ?? je n'arrive meme pas a soustraire ceci ><

Tu te perds dans le calcul ?

comme ceci peut-être :

f(x) = 64 $p i$ /8 - $p i$ x²/8 - $p i$ (8-x)²/8

mets $p i$ /8 en facteur

f(x) = $p i$ /8 [64 - x² - (8-x)² ]

développe (8-x)² et simplifie le tout

pi/8 [ 64-x² - (8²+16x-x²) ]
pi/8 [ 64-8² -16x ]
pi/8 -16x

Cela ne correspond pas à : pi/4 (8x-x²) ...

Une erreur de signes :
f(x) = pi/8 [ 64-x² - (8²-16x+x²) ]
=....

pi/8 [ -2x²+16x ]

je sature completement des maths .. je n'arrive meme plu a faire une factorisation des plus simple !

Si tu divises, numérateur et dénominateur par 2, cela donne ....

f(0) = pi/4 (80-(0)²) =0
f(8) = pi/4 (88-(8)²=0

Oui,

Cherche l'expression de f(8-x).

je n'y arrive pas ...

faut-il commencé par ceci : f(8-x)=pi/4 (8x-x²)
f(8-x)-pi/4(8x-x²) = 0 ?

Pour le calcul de f(8-x), tu remplaces dans l'expression de la fonction x par 8-x.

pi/4 (8x8-x-8-x²)
pi/4 (64-x-8-x²)
pi/4 (56-x-x²)

sa n'as pas de sens : (

Puis-je avoir une correction complete de cette exercice , je vais jamais y arriver

f(x)=pi/4 (8x-x²)
et
f(8-x)=pi/4 [8(8-x-(8-x)²]

développe

pi/4 [8(8-x-8²+16x+x²)
pi/4 [8(56+15x+x²)]

J'ai oublie de fermer une parenthèse
f(8-x)=pi/4 [8(8-x)-(8-x)²]
=pi/4 [64-8x)-(64-16x+x²)]
= ....

pi/4 (64-8x-64+16x-x²)
pi/4 ( -x²+8x)

Arrivé ici que dois-je faire ?

Tu compares ce résultat avec f(x).

Merci pour cette question.
5) f(x)= 4pi
Aire du Domaine D = 8pi donc 8pi/2 = 4pi
Or la longueur AB =8 cm donc pour f(x)=4pi , la longueur x est de 4 cm

Je crois que c'est cela ?

La réponse est correcte mais cela manque de justification.

f(x)= pi/4 ×(8x-x²)
Tu résous : pi/4 (8x-x²) = 4 pi

pi/4 (8x-x²) -4pi = 0
pi/4 (8x-x²-4pi ) = 0

Je suis bloqué ici , j'ai essayé le delta mais cela donne un chiffre negatif ..

pi/4 (8x-x²) = 4 pi
Tu peux simplifier le pi et multiplier par 4
soit à résoudre
(8x-x²) = 16
ou
x² - 8x +16 = 0 à factoriser

Je trouve (x-4)² = 0

(x-4) (x+4)

x=4 et x=-4

et comme une longueur ne peut pas etre negative x=4 ??

Oui, donc x = ....

comment faut -il comparer f(x) et 4pi sachant deja que f(x) = 4pi

comparer f(x) et 4pi revient a étudier le signe de f(x) - 4pi

f(x) - 4 pi = ??

Attention !

mon dernier message correspondait à : (x-4)² = 0
qui correspond à (x-4)(x-4) = 0
donc x = ....

Oui, pour comparer f(x) et 4pi, tu peux étudier le signe de f(x) - 4pi

pour la question 7)

a) j'ai trouvé T=x²-8x+8

c) avec le Delta j'ai trouvé x1= 1.17 et x2= 6.825

Par contre la question 8 peut tu me resoudre l'équation f(x)= pi je n'y arrive pas

pour la question 7)

Le a) est juste
Pour le b) Simplifie l'écriture f(x) = 8pi/4

c) x1= 1.17 et x2= 6.828

Question
Simplifie l'écriture f(x) = pi, puis résous l'équation.