Polynomes, factorisation et quotient ! Besoin d'aide...

I - Factorisation d’un polynome a l’aide de racines evidentes

On considere le polynome P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6.

Veriﬁer que x = 1 est une racine ´evidente du polynome P.
Oui c'est bien une racine evidente.
Developper le produit (x − 1)(ax² + bx + c), determiner les reels a, b et c pour que
P(x) = (x − 1)(ax² + bx + c).
= ax³ + (b-a)x²+(c-b)x-c
a = 1 , b=-5 , c=6 ! Voila j'ai determine abc.
Factoriser P(x) sous la forme d’un produit de trois polynomes de degre 1.
( x-3) (x-2) (x-1) Est ce ca ?
En deduire les racines du polynôme P.
Solution sont 1,2,3.

Apres avoir trouve une racine évidente, determiner les racines de chacun des polynomes suivants selon la méthode précédente :

x³ + x² − 56x

x³ + x² + x − 3

4x³ − 24x² + 45x − 25

x³ + 2x² − 29x − 30

x4 − 5x³ − 24x²

x4 − 6x³ − 23x² + 132x − 140

II - Division euclidienne de polynômes

On considere les polynomes P1(x) = x−1 et P2(x) = x²+9x−5. On cherche des polynomesQ et R veriﬁant l'egalite P2(x) = P1(x) × Q(x) + R(x) avec R de degre inferieur Q.

Quels doivent-etre les degres des polynomes Q et R?
On pose Q(x) = ax + b et R(x) = c, developper l’expression (x − 1) × Q(x) + R(x), en deduire les r´eel a, b, et c pour que x² + 9x − 5 = (x − 1) × Q(x) + R(x).
Donner les polynomes Q et R cherches.

Les polynomes Q et R sont appel´es polynˆomes quotient et reste de la division euclidienne du polynome P2 par le polynome P1. Trouver dans chaque cas le quotient et le reste de la division euclidienne du polynome P2 par le polynome P1 :

P1(x) = x − 2 et P2(x) = x²− 3x + 4

P1(x) = x² − x + 2 et P2(x) = x³− 5x²− x + 7

P1(x) = x − 3 et P2(x) = x³− 3x²+ 2x − 5

Voila je n'ai reussi que la premiere partie à faire ! Je suis vraiment en difficulté, pour trouver les racines car ce ne sont pas de degre 2 donc on ne peut utiliser Delta.
Quelle est la méthode ?
Je vous ai mis les reponds des premieres question mais je n'ai reussi que ca..
Si vous pourriez m'aider merci bcp d'avance

Bonsoir ouaiouai,

Pour la question 4 du I, tu appliques la même méthode
exemple : pour x³ + x² − 56x = 0, tu peux mettre x en facteur, x = 0 est solution de l'équation
soit x( ...) = 0

De même pour x³ + x² + x − 3 = 0,
si x = 1 ; 1 + 1 + 1 - 3 = 0 donc
(x-1) ( ...)

Noemi
Bonsoir ouaiouai,

Pour la question 4 du I, tu appliques la même méthode
exemple : pour x³ + x² − 56x = 0, tu peux mettre x en facteur, x = 0 est solution de l'équation
soit x( ...) = 0

De même pour x³ + x² + x − 3 = 0,
si x = 1 ; 1 + 1 + 1 - 3 = 0 donc
(x-1) ( ...)

NOn je ne comprends vraiment pas trop. Peut tu me faire juste un exemple en entier pour voir ? Du dernier le plus dur. JE suis vraiment bloqué
M

Soit x³ + x² − 56x = 0
On factorise
x(x² + x − 56 )
puis
x(x-7)(x+8) = 0
soit x = 0, x = 7 ou x = -8

Noemi
Soit x³ + x² − 56x = 0
On factorise
x(x² + x − 56 )
puis
x(x-7)(x+8) = 0
soit x = 0, x = 7 ou x = -8

Mais on doit pas determine a,b ,c ? ON factorise juste et peut-on pour tous les polynomes ici présents?

La question est : déterminer les racines, il n'est pas préciser d'écrire les valeurs de a, b et c mais tu peux les noter.

C'est une recherche presque similaire pour les autres.

Indique tes calculs.

Noemi
La question est : déterminer les racines, il n'est pas préciser d'écrire les valeurs de a, b et c mais tu peux les noter.

C'est une recherche presque similaire pour les autres.

Indique tes calculs.

Oui mais faut utiliser la methode precedente fin c'est pas obligeR.
Mais je n'arrive pas bien à factoriser les autre polynomes .

Tu peux utiliser la méthode précédente.

J'ai indiqué le début pour x³ + x² + x − 3 = 0
cherche les valeurs de a, b et c.

Noemi
Tu peux utiliser la méthode précédente.

J'ai indiqué le début pour x³ + x² + x − 3 = 0
cherche les valeurs de a, b et c.

Bon je vais pas cacher que je suis totalement perdu par ma faute en plus x)

Indique tes calculs.

ouai ouai, t'es d'ou? parce que on a le meme sujet de dm!
Moi j'ai presque fini! Mais j'ai fait exactement comme Noemi t'as dit de faire!

En fait il ne me reste plus que ceci à faire:

Trouver dans chaque cas le quotient et le reste de la division euclidienne du polynome P2 par le polynome P1 :

P1(x) = x²− x + 2 et P2(x) = x³− 5x²− x + 7

Sachant que: P2(x) = P1(x) × Q(x) + R(x)

Quelle est la forme de Q(x) ?

Noemi
Quelle est la forme de Q(x) ?

Je suis de Paris.
Anakim tu as tout reussi tu pourrai pas m'ecrire un ou deux exemple des polynome qu'on a faire ? Car je suis pommé.

Et la division, est-ce dur ?

Non c'est pas si dur que ça.

Par exemple pour: x³ + x² − 56x

On a 0 comme racine évidente:
f(0)= 0³+0²-56*0=0

Ensuite On factorise: Comme on a une racine de 0 on va factoriser seulement par x, mais dabord on va chercher a, b et

(x) (ax²+bx+c)
=ax³+bx²+cx

donc maintenant on remplace les lettres par les chiffres:
a=1 car ax³doit être = 1x³.
b=1 car bx² doit etre =1x²
c=-56 car cxdoit être = − 56x

Donc maintenant on remplace a, b et c par leur valeur dans
(x) (ax²+bx+c)
=(x) (x²+x-56)
=(x) [(x+(1/2))²-56-(1/4)]
=(x) [(x+(1/2))²- (225/4)]
=(x) [(x+(1/2))²- √(225/4)²]
=(x) [(x+(1/2)-(15/2))*(x+(1/2)+(15/2))]
=(x) [x-(14/2)] [x+(16/2)]
=(x) (x-7) (x+8)

Donc les racines sont:
x=0 x-7=0 x+8=0
x=7 x=-8

Les racies de x³ + x² − 56x sont 0, 7 et -8.

Oui celui la j'ai reussi mais apres les autre sont super difficil !
Je vais suivre ta methode etape par etape en esperant y arrive.
Mais quand la racine evidente est -1 ou 1 par exemple c'est plus complique..
En tout cas merci.

anakim

Ensuite On factorise: Comme on a une racine de 0 on va factoriser seulement par x, mais dabord on va chercher a, b et

(x) (ax²+bx+c)
=ax³+bx²+cx

Pour 1 ou -1 tu reprend cette étape.
Mais pour 1 ce sera:
(x-1) (ax²+bx+c)
=ax³+bx²+cx-ax²-bx-c
=ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c
et la tu cherche a, b, et c!

pour -1:

(x+1) (ax²+bx+c)
=ax³+bx²+cx+ax²+bx+c
=ax³+(b+a)x²+(c+b)x+c
et la pareille tu cher a, b et c en fonction du polynome qui t'es donné.

D'accord merci, donc je cherche a, b, c mais ca me sert a quoi apres de les savoir ?
et apres je factorise?

J'essaye de faire les suivant, je suis desole de dire ca mais je suis perdu.

Indique tes éléments de réponse.

Ouai ouai!