Résolution d'un problème sur les suites

Bonjour !

j'ai un petit problème avec mon devoir maison de math. J'ai répondu à la première moitié de questions mais après je ne sais pas comment m'y prendre. Pourriez-vous m'éclairer un peu s'il-vous-plaît ?

Voici l'énoncé (en rouge) et le travail que j'ai fourni (en noir):
Soit f une fonction définie sur [0;2] par f(x)= (2x + 1)/(x +1)

Etudier les variations de f sur [0;2]. Montrer que si x ∈à [0;2] alors f(x) ∈ [0;2].

→ f(x) est définie et dérivable sur Df, je trouve f'(x)= 1/(x+1)². Comme, 1/(x+1)² est toujours positif, f(x) est strictement croissante sur [0;2]. En calculant les images pour que la tableau de variations de f sur [0;2] soit complet, je trouve f(0)=1 et f(2)=5/3. Donc si x ∈ [0;2], x ∈ [1;5/3], donc x ∈ [1;2] puisque 5/3<2.

2)(U_n $) e s t$ (V_n $) s o n t d e u x s u i t e d \overset{e}{ˊ} f i n i e s s u r N p a r :$ U_0 $= 1 e t p o u r t o u t e n t i e r n a t u r e l n,$ U $em>{n+1}$ =f(U_n$)
$V_0$ =2 et pour tout entier naturel n, $V</em>{n+1}$ = $f(V_n$ ).

a) Construire la représentation graphique de la fonction f sur [0;2] avec pour unité graphique 5 cm sur chaque axe.

→ J'ai fait tracé ma fonction sur [0;2] avec le tableau de valeurs de la calculatrice graphique: j'obtiens une courbe croissante, une sorte de parabole.

b) _ Construire sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de la suite $U_n$ ) et $V_n$ ) en laissant apparents tous les traits de construction.

→ J'ai tracé la droite y=x qui coupe la y=f(x) en 1,6 (pour que vous ayez une idée). Puis j'ai placé $U_o$ , $U_1$ , $U_2$ et $V_1$ , $V_2$ , $V_3$ grâce à la méthode graphique qu'on connaît (une sorte d"'escalier").

_ A partir du graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de ces deux suites ?

→ $U_n$ ) semble croissante et $V_n$ ) semble décroissante. Les deux convergent vers 1,6.

_ Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, 1≤ $V_n$ ≤2 et que $V_{n+1}$ ≤ $V_n$ .
On admettra que l'on peut démontrer de la même façon que pour tout entier naturel n, 1≤ $U_n$ ≤2 et que $U_n$ ≤ $U_{n+1}$ .

→Je n'ai pas eu de souci en ce qui concerne les deux démonstrations demandées pour (Vn): j'ai commencé par démontrer que, pour tout entier naturel n, $V_{n+1}$ ≤ $V_n$ en montrant que la propriété est vraie pour n=0 (initialisation) et en supposant qu'il existe un entier naturel k tel que $U_{k+1}$ ≤ $U_k$ (2ème étape). J'ai trouvé ce qu'il fallait. Puis j'ai démontré 1≤ $V_n$ ≤2 en prouvant que la propriété est vraie pour n=0 (initialisation) et en supposant qu'il existe un entier naturel k tel que 1≤ $V_k$ ≤2. Pas de souci.
Au sujet des démonstrations pour $U_n$ ), j'ai vu qu'il y avait marqué "on admettra" alors j'ai écrit une petite phrase pour... l'admettre. De toute façon, je sais refaire la démonstration donc si vous pensez que je dois l'écrire quand même, je le ferai.

b) Montrer que pour tout entier naturel n, $V_{n+1}$ - $U_{n+1}$ = $V_n$ - $U$ n $V_n$ + $1)(U_n$ + 1). En déduire que pour tout entier naturel $V_n$ - $U_n$ ≥0 et $V</em>{n+1}$ - $U_{n+1}$ ≤ $1/4)(V_n$ - $U_n$ )

→ Ca se corse... je ne vois pas du tout comment faire. J'ai juste réussi à démontrer $V_{n+1}$ - $U_{n+1}$ = $V_n$ - $U$ _n $V_n$ + $1)(U_n$ + 1).
c) Montrer que pour tout entier naturel n, $V_n$ - $U_n$ ≤ $1/4)^n$

→ Je vais avoir du mal sans avoir fait la question qui précède.

d) Montrer que les suites $U_n$ ) et $V_n$ ) convergent vers la même limite l et déterminer l.

→ ?

Merci d'avance pour votre aide et votre patience.

Bonsoir,

Le début est juste.

b) Que peut-on dire pour le signe de (Vn + 1)(Un + 1), puis tu cherches le minimum de cette expression.

Bonjour, merci de m'avoir répondu.

(vn + 1)(Un + 1) est forcément positif puisque U0=1 et V0=2, donc dans le "pire" des cas, (Vn +1)(Un +1)= 3*2=6.

Que je cherche le minimum de cette expression ? c'est 6 alors ?

Mais en quoi cela m'aide-t-il pour la question ? Je ne sais pas si Vn - Un est positif.

Et le signe de $V_0$ - $U_0$ ?

Ah: $V_0$ - $U_0$ = 2 - 1= 1 donc c'est positif, effectivement. Du coup, $V_{n+1}$ - $U_{n+1}$ est positif mais comment je peux en déduire que $V_{n+1}$ - $U_{n+1}$ ≤ (1/4)(Vn - Un) ?

J'explique que: Vn - Un ≥ 1
(1/4)(Vn - Un) ≥ 0
(1/4)(vn - Un) ≥ $V_{n+1}$ - $U_{n+1}$

?

Quel est le maximum de $1 / (V$ _n $1)(U_n$ +1) ?

1/6 ?

Le maximum correspond au minimum des suites.
Comment trouves tu 1/6 ?

J'ai remplacé Vn par $V_0$ et Un par $U_0$ dans l'expression dont vous m'avez demandé le maximum. Veuillez m'excuser, je ne suis pas sure de comprendre ce que je cherche ?

Sur quel intervalle varient Vn et Un ?

Vn et Un varient sur [1;2]...

Donc le minimum de Un et Vn est ....
soit un maximum pour 1/(Vn+1)(Un+1) de ....

Donc le maximum de Un et Vn est 2. donc le maximum de 1/(Vn +1)(Un +1) est... 1/9 ?? (en remplaçant Vn et Un par 2 ?)

Non,

Relis mon message précédent.

Le minimum est 1 pour les deux suites. Donc le maximum est 1 pour 1/(Vn + 1)(Un + 1) ? Mais... pourquoi ? Je ne comprends pas en quoi le fait de savoir le minimum de Un et Vn me donne le maximum de cette expression.

Pourquoi est-ce que le minimum de Un et Vn ne me fait pas déduire le MINIMUM de 1/(Un +1)(Vn +1) à la place du maximum ?

L'expression est de la forme 1/x,
si x est minimum, 1/x est maximum
si x est maximum, 1/x est minimum.

1 ≤ Vn ≤ 2, donc le minimum de Vn est 1
et le maximum de 1/(Vn+1) est 1/(1+1) = 1/2

donc ...