Etudier une fonction avec racine carrée

Bonjour tout le monde, je suis dans une grande difficulté , aidez-moi, s'il vous plait ! voici un exercice dont il est difficile de résoudre, quelques conseils seraient la bienvenue. Alors voilà:

Soit n un entier naturel non nul (n=1,2...)
On définit la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle I=[0;+∞[ par $f_n$ (x)=(n+x)/(1+√x).

On désigne par $C_n$ sa courbe représentative dans le plan.

1.Etude en +∞
Déterminer $lim⁡x→+∞\lim_{x\rightarrow+\infty }$ $f_n$ (x)

2.Etude en 0.
a. Vérifier que $[f$ _n $em>x</em>)-f_n$ (0)]/(x-0)=(√x-n)/[(1+√x)√x)].

b. déterminer $lim⁡x→0\lim_{x\rightarrow 0}$ $[f$ _n $em>x</em>)-f_n$ (0)]/(x-0).

c. La fonction $f_n$ est-elle dérivable en 0 ? La courbe $C_n$ admet-elle une tangente au point d'abscisse 0 ?

3. Etude sur ]0;+∞[ .

a. Justifier qur $f_n$ est dérivable sur ]0;+∞[. Vérifier que $f_n$ '(x)= (x+2√x-n)/[2√x(1+√x)²] pour x>0.

b. On pose gn(x)=x+2√x-n. Après étude de la fonction gn sur ]0;+∞[, justifier que gn s'annule en un seul réel, qu'on note $em>a</em>_n$ . Dresser alors le tableau de variation de $f_n$ sur ]0;+∞[.

4. On s'intéresse plus particulièrement à la fonction $f_4$ (quand n=4), de courbe $C_4$ .

a. Déterminer la valeur exacte de $em>a</em>_4$ en effectuant dans l'équation x+2√x-4=0 le changement d'inconnue X=√x.

b. Dresser le tableau de variation de $f_4$ .

c. On appelle $γ\gamma$ la courbe d'équation y=√x-1.
Résoudre l'équation |[(4+x)/(1+√x)]-(√x-1)|≤1. Interpréter graphiquement la réponse.

Comme n est un entier naturel non nul, n>0. (je n'ai pas encore vu en lecon la limite de $f_n$ (x juste lim f(x) ou lim $u_n$ )
Donc il ne faut pas s'en soucier.
$lim⁡x→+∞fn(x)=lim⁡x→+∞\lim_{x\rightarrow +\infty} fn(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}$ x/√x ⇒ FI $∞∞\frac{\infty}{\infty}$
Que dois-je faire, mettre en facteur pour l'écriture soit plus simple à déterminer la limite?

2.a. J'ai vérifié l'égalité, elle est un peu trop longue à marquer mais je suis sûre que j'ai juste.

b. $lim⁡x→0fn(x)−fn(0)x0\lim_{x\rightarrow 0} \frac{fn(x)-fn(0)}{x0}$ = $lim⁡x→0\lim_{x\rightarrow 0}$ (√x-n)/[(1+√x)√x] On obitent $n0\frac{n}{0}$
⇒ $lim⁡x→0fn(x)−fn(0)x0\lim_{x\rightarrow 0} \frac{fn(x)-fn(0)}{x0}$ =+∞ (car n>0)

c. Comment dois-je faire pour savoir si $f_n$ est dérivable en 0 ? car je sais que la réciproque du théorème de dérivabilité n'est pas vraie...

3.a. A partir de là je ne sais plus quoi faire !

personne pour m'aider ?
:frowning2: :frowning2: :frowning2:

Répondez moi s'il vous plait, cet exercice a été posté hier et il est toujours sans aucune réponse...

je suis bloquée.

Bonjour peace,

Simplifie x/√x = √x
La limite tend vers l'infini, donc tu peux conclure sur la dérivabilité (cours).
Calcule la dérivée.

Bonjour

je n'avais pas vu cet exercice.

Alors pour la question 1 : déterminer la limite de $f_n(x)$ lorsque $\to +\infty$ .
comme tu l'as compris, on fait comme si n était fixé à une valeur quelconque, mais qui ne bouge pas.

c'est bien de la forme $∞/∞\infty/\infty$ , mais avec deux termes d'un ordre différent : le numérateur est en $x$ , le dénominateur en $x\sqrt x$ ; dans ce cas, je te suggère de factoriser par $x$ , le plus "fort" et de regarder la limite ensuite.

A la question 2 b, il me semble vu le résultat de 2 a, que la limite est plutôt du genre $1‘x1`\sqrt x$

$lim⁡x→+∞fn(x)=lim⁡x→+∞\lim_{x\rightarrow +\infty} fn(x)= \lim_{x\rightarrow +\infty}$ x/√x= $lim⁡x→+∞\lim_{x\rightarrow +\infty}$ √x=+∞
car √x>0.

2.b. la lim [fn(x)-fn(0)]/(x-0)= lim (√x-n)/[(1+√x)√x)]= lim n/0=+∞ quand x tend vers 0.

2.c. Comme la limite tend vers +∞ alors la fonction $f_n$ n'est pas dérivable en 0. Donc la courbe $C_n$ n'admet pas de tangente au point d'abscisse 0 car $f_n$ n'est pas dérivable en 0.

Dans le 1., l $lim⁡x→+∞fn(x)=+∞\lim_{x\rightarrow +\infty} fn(x)=+\infty$ et $lim⁡x→0fn(x)=lim⁡x→0n=+∞\lim_{x\rightarrow 0} fn(x)=\lim_{x\rightarrow 0}n=+\infty$ car n>0, donc $f_n$ (x) est dérivable en ]0;+∞[. J'ai fait la vérification et j'ai bien trouvé $f_n$ '(x).

3.b. Je ne sais pas ce qu'il faut faire, utiliser le théorème de la valeur unique?
3.c. ?

4.a. on pose X=√x. ⇒ X²+2X-4=0.
$δ\delta$ =4-1*(-4)=8. Donc X'=-1+√2 et X''=-1-√2.

x'=? et x''=?

pour le reste je suis bloqué, j'ai tenté avec plusieurs de mes camarades, mais on est tous bloqués...

3 b) Fais l'étude de gn(x)

3.b. n>0 car n est un entier naturel non nul
√x>0, donc x>0 car dans la racine carré il ne peut y avoir de chiffre négatifs. Donc $g_n$ (x) est croissante sir ]0;+∞[

Calcule la dérivée.

pour la dérivée je trouve 1+(1/√x).

Salut,

je suis aussi sur le même devoir maison.

En fait, tout cela on sait le faire, le seul truc c'est que le "n" nous embrouille vraiment. Qu'est ce qu'il faut en faire, comment calculer avec ce "paramètre", varie t'il, ... ?

Est ce que vous pourriez donc nous éclairer sur ce "n" ?

Fais l'étude classique en prenant n comme une constante.

Ok, donc pour faire l'étude on commence par la dérivée. Donc, on ne se soucie pas de n.

Gn'(x) = 1 + 1/2sqrt(x) .

1 + 1/2sqrt(x) = 0
=> 1/2sqrt(x) = -1
=> 2sqrt(x) = 1
=> sqrt(x) = 1/2
=> x = 1/4.

Donc, si mes calculs sont bons, la fonction est croissante sur R+ - {1/4}.
Et la valeur où Gn s'annule est x = 1/4.

Donc, tableau de variations de Fn:

Croissante sur [0;1/4[, puis croissante sur ]1/4; +infini[ ?

Merci de prendre votre temps pour nous aider

Mais la dérivée de 2√x n'est pas 2/2√x ?

Non,

La dérivée : Gn'(x) = 1 + 1/√(x)

Quel est le signe de Gn'(x) ?

positif car on ne peut pas avoir de chiffre négatif à l'intérieur d'une racine carré.

Donc quelles sont les variations de la fonction ?

croissante, sur ]0;+∞[. Comment dois-je faire ensuite ?

Sur quel intervalle varie la fonction ?

la fonction varie sur ]0;+∞[ non ?

x varie sur ]0 ; +∞[ et f(x) varie sur ....

]0;+∞[

Vu que la fonction est croissante, calcule la limite en 0 et en +∞.

car n>0.

la limite de gn quand x tend vers 0 est -n est quand x tend vers +∞, la limite est +∞, donc gn(x) varie de -n à +∞ donc gn s'annule en un seul point an.
Dresse le tableau de variation.

?

Merci !

Pour le prouver, je pense qu'il faut utiliser le théorème de la Bijection.
(Le truc qui dit que la fonction étant strictement croissante etc, il y a qu'un seul point qui est égal a truc)

Pour la 4,

Là, c'est le problème que j'ai à chaque fois.
On trouve, dans l'équation X² + 2X - 4 = 0,
X1 = -1 - sqrt(5)
X2 = -1 + sqrt(5)
Mais, sachant que X = sqrt(x), comment trouver "x" ?

Merci Noemi

moi je trouve -1+√2 et -1+√2 pour X'et X''...

X² + 2X - 4

D= b²-4ac => 2² - 4(-4*1) = 4 + 16 = 20

-b-sqrt(D) / 2a => -2 - sqrt(20) / 2

=> -2 - sqrt(4*5) / 2
=> -2 - 2sqrt(5) / 2
=> -1 -sqrt(5) / 1

ah oui c'est vrai j'avais oublié de multiplier par 4.

Attention dans le tableau de variation
pour x ce n'est pas -n mais 0
et gn(x) débute à -n et non -∞.

Pour la question 4, c'est le résultat avec √5 qui est correct
Pour trouver x , vu que X = √x, X ≥ 0 et x = X²

C'est un tableau de signe, pour "gn", pas de variations

Ensuite, à partir de ça, on fait le tableau de variations de fn

ok merci pour la question 4.

Hm, Pour "variations f4", on remplace, dans Fn(x), le "n" par -1+sqrt(5) ?

Bah fais le tableau alors

si j'ai bien compris, elle est négative de 0 à an, puis positive de an à +infini
Je crois

peut-être.

C'est juste.

pour le 4.a., comment trouver x' et x'' sachant que les deux racines sont négatives ?

Elle a rep plus haut à ça, mdr.

Merci beaucoup pour ton aide Noemi !

Pour moi, je crois que c'est bon. Bonne nuit, à demain