Optimisation d'un trapèze

Bonjour à tous, je ne sais pas bien comment qualifier cet exercice, mais il y a il me semble pas mal de fonction... c'est un DM (non noté, donc je ne viens pas ici pour les notes juste pour moi même ) j'ai fait quelque petites choses mais je bloque maintenant... :frowning2:

Voici l'énoncé de l'exercice dont l'objectif est : "résoudre par deux méthodes différentes un problème d'optimisation". On se doute donc que l'exercice est coupé en deux... mais pour l'instant on se contentera de la première partie^^ Je précise que je suis en série scientifique

*Un récipient a la forme d'un prisme droit dont la base est un trapèze isocèle ABCD (fig. 1)
Toutes les dimensions de ce récipient sont fixées sauf la longueur CD.
On donne AB=BC=1 et BB'=2 (l'unité étant le mètre) et on cherche la dimension à donner à la grande base [CD] du trapèze ABCD pour que le volume de ce récipient soit maximal.
*

1ère méthode de résolution :

On appelle H le projeté orthogonal de A sur [CD] (fig 2) et on note x à la longueur HD

**1) Justifier que le réel x appartient à l'intervalle [O;1[ (là j'ai rien compris, je ne vois pas quel fonction rattacher à x pour l'intégrer dans un intervalle, est-ce que ca a à voir avec le théorème des valeurs intermédiaires ?)

Exprimer l'aire du trapèze en fonction de x. Puis démontrer que le volume de ce récipient en fonction de x est égal à

V(x)= 2(1+x)*(1-x²)

Justifier que V est dérivable sur [O;1[ et calculer V'(x)
Déterminer pour quelle valeur de x, le volume de ce récipient est maximal.
Conclure en donnant la longueur DC pour laquelle le volume est maximal.**

Et voilà ce que j'ai fait :

x = DH donc :

x²= DA²-AH² et x = (DA²-AH²)
AH² = DA²-x²
AH² = h donc : h² = 1-x² et h = (1-x²)

je sais que :

AIRE trapèze = [(B+b)*h]/2 avec B et b les deux bases du trapèze

donc B = AB (transposé) = 1
et b = AB (transposé) + 2x

or x = (DA²-AH²)
.
.
.
donc b = 1+2[(1-AH²) car DA²=(1)²=1

or : AH² = h = (1-x²)

DONC : AIRE trapèze = [ 1 + (1+2(1-(1-x²))*(1-x²) ] /2*
voilà j'espère que c'est à peu près compréhensible, c'est assez long et j'en suis qu'au début... donc à partir de là, j'aurais aimé qu'on me donne des pistes afin de poursuivre, sans me donner de réponse directement, merci beaucoup !

ps : pour info la seconde méthode est avec la trigo, mais je verrais ca plus tard

Bonsoir,

Attention :
h² = 1-x² donne h = √(1-x²) si x < 1

L'expression du volume ne comporte pas une terme sous un radical ?