Démonstration d'une égalité de signe entre 2 fonctions



  • Bonjour à tous,

    Voici mon problème pour un dm (pour la fin de la semaine prochaine):
    Je dois démontrer que le signe de f'(x) est le même signe que celui de g(x).

    g(x) = x^3 - 3x - 3 et grâce aux questions précédentes son signe sur ]1;+infini[ est - avant une valeur alpha pour laquelle g(x) = 0 puis + après cette valeur.

    f(x) = (2x^3 +3)/(x^2 -1) sur ]1;+infini[

    J'ai donc trouvé f'(x) = (2x^4 - 6x^2 - 6x)/(x^2 -1)^2

    Je ne sais pas comment je peux démontrer cela mais je me suis aperçu que le numérateur de f'(x) est le double de g(x) et de degré 4 au lieu de 3.

    Je vous remercie d'avance pour votre aide.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Factorise le numérateur de f'(x).



  • Je trouve 2x(x^3 - 3x -3) donc on retrouve bien g(x) dans le deuxième facteur mais je ne sais pas quoi en faire.


  • Modérateurs

    Quel est le signe de 2x sur l'intervalle ]1 ; +∞[ ?
    donc
    ...



  • Positif donc même signe que g(x) mais je ne comprends pas pourquoi et ni pourquoi on écarte le deuxième facteur ainsi que le dénominateur..


  • Modérateurs

    C'est le même raisonnement pour le dénominateur.

    Quel est le signe de x²-1 si x > 1 ?

    Tu n'écartes pas les facteurs, tu montres qu'ils sont positifs.



  • Ah d'accord. Donc le signe du dénominateur est positif si x>1 mais le deuxième facteur est négatif : 2^3 - 3X2 - 3 = -1 par exemple


  • Modérateurs

    L'expression de f'(x) comprend trois facteurs, sur l'intervalle donné, les facteurs 2x et x²-1 sont positifs, donc le signe de f'(x) dépend du signe du troisième facteur.



  • Donc si le signe de f'(x) dépend du troisième facteur, f'(x) est négatif sur cet intervalle mais du coup ce n'est pas du même signe de g(x) qui est positif. Désolé de ne pas trop comprendre 😕


  • Modérateurs

    Le troisième facteur est g(x), donc cela dépend du signe de g(x).



  • Ah oui je suis bête. Merci beaucoup de votre patiente, bonne continuation.


 

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