parabole et lieu géométrique

Bonjour!
Pouvez-vous m'aider, s'il vous plait! Me donner quelque piste. Je n'ai vraiment pas compris.
Merci d'avance!

Dans un repère (0, $i→i^\rightarrow$ , $j→j^\rightarrow$ ) on note P la parabole d'équation y=x² et A le point de coordonnées (0;1). Une droite d de coefficient directeur m passe par A et P en M et N.
Soit I le milieu du segment [MN] on veut examiner les positions successives du point I lorsque la droite d pivote autour de A.

Faire une figure; P et d se coupent-elles toujours en deux points? Quelle courbe semble parcourir le point I lorsque d varie? (Je n'arrive pas à commencer l'exercice)
Lorsque d pivote autour de A, on conjecture que M et N existent toujours. Prouvons-le.

Pour trouver les points d'intersection des deux courbes $C_1$ Et et $C_2$ d'équations y=f(x) et y=g(x), on raisonne en général de la façon suivante: dire que M, de coordonnées (α;β), appartient a l'intersection de $C_f$ et $C_g$ équivaut à dire que β=f(α) et β=g(α).
Donc α est solution de l'équation f(x)=g(x), dite "équation aux abscisses"
Démontrez que l'équation aux abscisses est x²-mx-1=0
Pourquoi cette équation a-t-elle toujours deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ?

Si on note, par exemple, $x_1$ l'abscisse de M et $x_2$ celle de N, on sait trouver, en fonction de $x_1$ et $x_2$ , les coordonnées $X_1$ ; $Y_1$ ) du point I milieu de [MN]. Il est alors inutile de calculer $x_1$ et $x_2$ .

a) Vérifiez que $X$ _1 $= x$ _1 $x_2$ /2 et $Y$ _1 $= m / 2 (x$ _1 $x_2$ )+1

b) Déduisez-en, en fonction de m, les coordonnées du point I.

Pour trouver le lieu (L) de I, on essaie d'abord de trouver une relation entre $X_1$ et $Y_1$ .

a) Prouvez que I appartient à la parabole (C) d'équation y=2x²+1.

b) Réciproquement, il reste désormais à répondre à la question suivant: "Le point I décrit-il toute la courbe (C)"
Lorsque m décrit $mathbb{R}$ , prouvez que $X_1$ décrit $mathbb{R}$ et déduisez-en que I décrit toute la courbe (C).

Bonjour,

Trace la parabole et place le point A, puis trace une droite qui coupe la parabole en deux points M et N.
Tu places le point I.

Puis tu traces une autre droite et les points M, N et I correspondant.
Puis une autre droite ...

Analyse ensuite l'évolution du point I.

D'accord, Merci!

Que faut-il faire ensuite ?

Tu as conjecturé sur la courbe définie par le point I ?