Calcul de la dérivée d'une fonction exponentielle

J'ai de nouveau un soucis ... cette fois dans un DM en enseignement obligatoire. Le but est de déterminer a, b et c.

On a f(x) = $ax+b)e^{cx}$
On m'a demandé de calculer la dérivée. Et en appliquant si f=u.v alors f'=u'v+uv' J'ai trouvé: f'(x) = $e^{cx}$ × (a+axc+bc)

On me demande alors d'écrire un système d'équation liant les trois inconnues, sachant que f'(0)=0,5 et f'(0,5)=-1

J'ai trouvé:
$e^0$ (a+bc) = 0,5
$e^{0,5c}$ (a+0,5ac+bc) = -1
⇔
a+bc = 0.5
$e^{0,5c}$ (0,5ac+0,5) = -1

Est-ce correct?
On me demande ensuite d'en déduire les couples (a,c) possibles... Je ne vois pas comment y parvenir. J'ai essayé cela mais sa n'aboutit à rien:

0,5ac+0,5 = $1-e^{0,5c}$
⇔ac+1 = $1-e^{0,5c}$ )÷(0,5)
⇔ac = $1-e^{0,5c}$ )÷(0,5)-1 = $2-2e^{0,5c}$ -1 = $2e^{0,5c}$ -3

C'est tout.

En pensant que mon livre avait peut-etre fait une erreur dans une des questions précédentes j'ai aussi la valeur: f'(1) = 1 mais en suivant le même raisonnement j'obtiens: ac = $e^{-c}$ -0,5
Peut etre que là je peux aboutir à quelque chose?

Bonjour (marque de politesse à ne pas oublier !!!)

Tu as oublié le a
$e^{0,5c}$ (a+0,5ac+bc) = -1
un couple possible a = -1 et c = 0

Désolée :rolling_eyes:

Euh je ne comprends pas où j'ai pu oublier le "a" et comment on trouve les couples possibles. :rolling_eyes:

Tu as trouvé :
J'ai trouvé:
a+bc = 0,5
$e^{0,5c}$ (a+0,5ac+bc) = -1

écrit une troisième relation à partir de f'(1) = 1

C'est ce que j'ai fait ..
Citation
j'obtiens: ac = -e-c-0,5

Je ne comprends pas ...
Et pourquoi dans la deuxième relation on ne remplace pas a+bc par 0,5 comme on l'écrit juste au dessus ??

Mince... c'est " ac = $e^{-c}$ -0,5 " ... (l'exposant a été mal écrit)

oui, tu peux utiliser a+bc = 0,5

La dernière relation est $e^c$ (a+ac+bc) = 1

Oui.. mais je ne comprends tjs pas comment trouver les couples :$ Désolé.

Cherche à modifier les équations pour trouver une relation ne contenant qu'une inconnue.

Ok merci ... Je vais essayer.

Re bonjour,
Désolé de n'avoir pas répondu hier : j'étais absent.
J'ai vu que tu as pu te faire aider par Noemi, mais il me vient un doute sur ton énoncé :
f '(0) = 0.5 et f '(0.5) = -1 : donc f ' s'annule entre 0 et 0.5
f '(0.5) = -1 et f '(1) = 1 : donc f ' s'annule entre 0.5 et 1
f' s'annule donc au moins deux fois.
Or, f '(x) = $e^{cx}$ [acx + bc + a ]
l'exponentielle ne s'annule pas et le crochet, du premier degré en x, ne peut s'annuler qu'une seule fois sauf si ac=0 et bc+a = 0.
Donc, ou bien il y a une erreur dans l'énoncé, ou bien tes a,b,c, vérifient :
ac = 0 et a+bc=0. Auquel cas les couples (a,c) sont évidents.

Bonjour!!
En fait, les valeurs de f' que j'ai donné je devais les trouver a partir d'un graphique du livre où une tangente était déja tracée. Or, cette tangente était de coefficient directeur 1, donc le point de la courbe par lequel elle passait correspondait non pas à f'(0,5) comme on me le demandait mais f'(1). Donc j'ai repris la valeur de f'(1) et j'ai tracée une tangente de coefficient directeur 0,5 pour pouvoir donner la valeur de f'(0,5) comme on me le demandait.

Maintenant, lorsqu'on me demande d'écrire un système d'équations je pense que je ne dois utiliser que f'(0) et f'(0,5) .. ou f'(0) et f'(1).

Me comprenez-vous?

Pas bien.
Avec seulement deux conditions, on ne va pas s'en sortir.

C'est impossible? Ah bin bravo les livres qui donnent des exercices sans solution!

La valeur f(0) peut aider??

Sans doute !

:rolling_eyes: Je pensais que non. On a également f(0)=1 alors.

Bon . Résume :
f(0) = 1
f '(0) = 0,5
Et ensuite : est-ce f '(0.5) = ?? ou f '(1) = ???

Bin essayons avec f'(1). Je ne sais pas vraiment si c'est cette valeur ou f'(0,5) que l'on doit utiliser puisque on me demande cette dernière valeur mais le graphique qui m'est proposé me donne la valeur f'(1) et que c'est uniquement la lecture graphique qui doit me donner la valeur.

Comment la valeur f(0) peut-elle nous aider? :rolling_eyes:

f(0) = 1 donc (a. $0+b)e^{0.c}$ =1 donc b=1 c'est déjà ça !
f' (0) = 0.5 donc a+bc=0.5
f '(1) = 1 donc $e^c$ (ac+bc+a)=1

Vérifie ...

Euh... a+c = 0,5 donc $e^c$ (ac+0,5) = 1 ?

Oui, mais ça ne nous avantage guère.
Es-tu sûr de tes données ?
D'où proviennent-elles ? de la lecture d'un graphique ?
Pourrais-tu préciser l'énoncé et fournir le graphique ( s'il est lisible ) ?

Euh je n'ai pas de scanneur :s Je ne pourrais donc pas fournir le graphique.
J'ai une petite question: "Un produit est égal à 1 que si les facteurs sont égaux à 1" Est-ce vrai ? Parce que à ce mmt, il sera plus utile d'utiliser la valeur f'(0,5) plutôt que f'(1) ...

Je trouve ensuite que a=0,5 et c=0 donc les couples possibles (a,c) seraient: (0,5;0) et (0;0,5) .

Un produit peut être égal à 1 sans que ses facteurs le soient : ex :
4/7 * 7/4 = 1

Pour le reste, f'(0.5) ou f'(1) ?
Impossible de savoir sans plus de précision.
Que dit exactement l'énoncé ?

L'énoncé:

Déterminer graphiquement f(0), f'(0) et f'(0,5)
Calculer f'(x)
Etablir un système d'équations liant les trois inconnues a,b et c.
En déduire que le couple (a,c) peut s'écrire de deux facons.

...

Donc tes données sont :
f(0) = 1
f '(0) = 0.5
f '(0.5) = ??
Confirme.

Excuse le retard mais mon accès internet merdoie ...
De toute façon je dois bientôt me déconnecter.

f'(0,5)=-1

f(0) = 1 fournit b=1
f'(0) = 0.5 fournit bc+a = 0.5, et puisque b = 1 : c+a = 0.5
f'(0.5) = -1 fournit $e^{0.5c}$ (0.5ac+bc+a) = -1
Donc en utilisant les égalités précédentes : ac+1 = $2e^{-0.5c}$
On est d'accord ?

Je suis vraiment vraiment dsl de vous avoir fait perdre du tps... J'ai fait une mauvaise lecture graphique... :rolling_eyes:
J'arrive à me débrouiller maintenant... f'(0)=1 et f'(0,5)=0

Désolée... :rolling_eyes:

f '(0.5) = 0 ?
Alors c'est plus simple !
On trouve (2;-1) et (-1;2) ?

Oui c'est cela

En effet, beaucoup de temps de perdu et surtout de fatigue inutile ( à mon âge ... ).
Quelle idée aussi de demander à lire un graphique au lieu de donner les valeurs directement.

:rolling_eyes: Oui ouii ... Encore désolée. Je m'excuse.

Merci beaucoup d'avoir donné autant de temps.

De rien.
A+

Mathtous vous allez me détester :rolling_eyes:
Je ne parviens pas a trouver les couples... Quand je vous ai dit oui oui c'est cela, je suis allée un peu trop vite et je ne m'y retrouve plus. Pouvez-vous encore m'aider svp?

f(0) = 1 donc b = 1
f'(0) = 1 donc bc+a = 1 , et puisque b = 1 : c+a = 1
f'(0.5) = 0 donne $e^{0.5c}$ (0.5ac+bc+a)=0
et avec les conditions précédentes : $e^{0.5c}$ (0.5ac+1)=0
Or $e^{0.5c}$ est non nul ( exponentielle ), donc 0.5ac+1 = 0
Donc ac=-2
Pas d'erreur jusque là ?

On cherche donc deux nombres a et c dont on connaît la somme : a+c = 1 et le produit : ac = -2.
C'est classique : a et c sont les racines de l'équation X² -1X -2 =0
Ces racines sont -1 et 2
Mais a et c sont "interchangeables" , ce qui nous donne les deux couples (-1,2) et (2,-1).
Vérifie ...

Jusque ac=-2 pas d'erreur!

Mais je ne comprends pas la suite ... :rolling_eyes:

Citation
On cherche donc deux nombres a et c dont on connaît la somme : a+c = 1 et le produit : ac = -2.
On cherche deux nombres dont on connaît la somme S et le produit P.
Tu as vu cela en première : ces nombres sont les racines de l'équation du second degré X² - Sx + P = 0.

:rolling_eyes: Euh . . . Je ne crois pas avoir vu sa en premiére.

Si si. Aurais-tu oublié ?
Somme et produit des racines ...