Les Suites réccurentes

[enomis]

Soit Un une suite telle que : $U_0$ = a et $U_{n+1}$= $(U_n$³$+4U_n$)/8
Démontrez que quel que soit a de $R^{+}$ Un admet une limite tout en déterminant cette limite

Ps : J'ai essayé de diviser l'intervalle en [0,2] et [2,+∞] pour étudier la convergence de la suite sur ces deux intervalles, pour le premier intervalle, je résous l'équation qui me donne comme limite 2 ou -2 qui ne pourront pas etre des limites pour la suite car Un est décroissante,et positive sur le deuxième intervalle, je ne sais pas vrmt quoi faire, car si seulement je pourrais démontrer que Un est croissante et pas majorée je pourrais conclure automatique que limUn=+∞ :rolling_eyes:

[Thierry]

Salut,
C'est un peu difficile pour un exercice de terminale !

Tu peux étudier la fonction $f(x)=(x^3$+4x)/8.

En fait je distinguerais 3 cas :
a=0
a=2
a∈]0;2[
a∈]2;+∞[

Pour chacun de ces intervalles I, il s'agit de démonter que si x∈I alors f(x)∈I.

Tu en déduiras alors, par un raisonnement par récurrence, que $U_n$ est bornée et monotone.