Fonctions exponentielles.

Bonjour!
Je viens de débuter le chapitre des Fonctions exponentielles et j'ai encore un peu de mal avec les applications directes.
Voici un énoncé..

Résoudre dans R les équations suivantes:
a) $(e$ ^x $^3$ = $e^{(x-1)}$
b) $e^x$ = [√ $e^{(x-1)}$ ]
c) $e^{(-x)}$ - 3] / $e^{(-x)}$ - 5] = 1/2
d) $e^{(2x-1 / x-2)}$ - e = 0
e) $e^{6x}$ - $4e^{3x}$ + 3 = 0
f) $e^x$ + $e^{-x}$ = 1
g) $e^x$ + $e^{1-x}$ = e + 1
h) $3e^{-x}$ = 4 - $e^x$

Et je ne sais pas trop comment m'y prendre pour résoudre tout ça...
Pourriez vous m'expliquez la démarche s'il vous plait ?

Bonsoir,

a) Modifie $(e$ ^x $^3$
puis utilise la fonction ln.
$ln(e^x$ ) = ....

En quelle classe es-tu ?

Je suis en Terminale S..

a) en exemple
$e^{3x}$ = $e^{x-1}$ $e^{u(x)}$ >0)
ln $e^{3x}$ = ln $e^{x-1}$
3x = x-1
x = ...

Voici ce que je proposerais, mais je ne suis pas sûr du tout...

a) $(e$ ^x $^3$ = $e^{(x-1)}$ -> $e^{(3x)}$ = $e^{(x-1)}$ -> 3x = x - 1 -> 3x - x = -1 -> 2x = -1 -> x = -1/2.

Mais le soucis, c'est qu'une fois que j'ai la réponse devant les yeux, je comprend très bien, mais quand il s'agit de chercher la réponse, je ne trouve pas, alors que la réponse après me semble vraiment logique...

C'est correct.

Applique le même raisonnement pour b.
√(u(x)) = $u(x)^{1/2}$

Franchement, je suis persuadée que c'est très simple, mais malgré votre réponse, je n'arrive toujours pas à résoudre ces inégalités.

Pourtant, je sais très bien que:
$a^n$ * $a^m$ = $a^{n+m}$
$(a$ ^n $^m$ = $a^{n<em>m}$
$a$ ^n $a^m$ = $a^{n</em>m}$
$a^n$ * $b^n$ = $ab)^n$
$a^0$ = 1
$a^1$ = a
$1/a^n$ = $a^{-n}$
$a$ ^n $b^n$ = $a/b)^n$

...

Attention :
$a$ ^n $a^m$ = $a^{n-m}$

b) $e^x$ = $(e$ ^{x-1} $^{(1/2)}$
= ...

Pour la b), je ne trouve pas car les x s'annulent lors du calcul..
Et pour le reste, je ne trouve rien..

Indique tes calculs.

c) Ecris sous la forme A(x) = 0,
réduis au même dénominateur,

Pour la b), je pensais faire $e^x$ = $(e$ ^{x-1} $^{1/2}$ soit $e^x$ = $e^{(x-1)/2}$ donc x - (x-1)/2 = (2x - x - 1)/2 = (x-1)/2 = x/2 - 1/2 soit x/2 = 1/2 soit x = 1/4 ?

Attention aux signes :
x - (x-1)/2 = 0
(2x-x+1)/2 = 0
.....

Ca nous donne donc -1/4 ?

Non,

Indique tes calculs.

Et bien, en reprenant le calcul, on a x - (x-1)/2 = (2x - x + 1)/2 = (x+1)/2 = x/2 + 1/2 soit x/2 = -1/2 soit x = -1/4

...

Le début est juste :
x - (x-1)/2 = (2x - x + 1)/2 = (x+1)/2 = x/2 + 1/2
ensuite tu résous
x/2 + 1/2 = 0
soit x = .....

x serait égale à -2/2 soit -1 ?

Oui, -1.

D'accord.
Ensuite pour le suivant, $e^{-x}$ -3] / $e^{-x}$ -5] = 1/2, on peut faire $e^{-x}$ -3] / $e^{-x}$ -5] - 1/2 = 0 Et en mettant au même dénominateur on a $e^{-x}$ -3] / $e^{-x}$ -5] - $e^{-x}$ -3] / $e^{-x}$ -5] = 0 soit $e^{-x}$ -3] / $e^{-x}$ -5] = $e^{-x}$ -3] / $e^{-x}$ -5], mais je reste bloquée ensuite..

$e^{-x}$ -3] / $e^{-x}$ -5] - 1/2 = 0
on réduit au même dénominateur :
$2[e^{-x}$ -3] / $2[e^{-x}$ -5] - $[e$ ^{-x} $5]/2[e^{-x}$ -5] = 0

Je te laisse poursuivre

Je n'arrive pas à poursuivre, je reste bloquée.. Pourtant ce n'est pas du tout de la mauvaise volonté ou vouloir que vous fassiez le travail à ma place, car j'aimerais vraiment comprendre, et j'ai de grosse lacunes en mathématique et pourtant je suis sûr ce tout ça est très simple.. Mais je n'y arrive pas, et je suis complètement bloquée devant quelque chose qui est surement très simple..!

$2[e^{-x}$ -3] / $2[e^{-x}$ -5] - $[e$ ^{-x} $5]/2[e^{-x}$ -5] = 0

le numérateur est :
$2[e^{-x}$ -3] - $e^{-x}$ -5] = 0
avec $e^{-x}$ différent de 5
développe et calcule x

Note tes calculs.

Pour la c),
$e^{-x}$ - 3] / $e^{-x }$ - 5] = 1/2 mais $e^{-x}$ -5 différent de 0 soit $e^{-x}$ différent de 5.
$2(e^{-x}$ -3) = $e^{-x}$ -5
$2e^{-x}$ -6 = $e^{-x}$ -5
$2 e$ ^{-x} $6-e^{-x}$ +5 = 0
$e^{-x}$ -1 = 0
$e^{-x}$ = 1 mais je reste bloquée là..

Pour la d),
$e^{[(2x-1)/[x-2)]}$ - e = 0 -> $e^{[(2x-1)/[x-2)]}$ = e
Mais je reste aussi bloquée là...

A partir de :
$e^{-x}$ = 1
$ln(e^{-x}$ ) = ln1
-x = 0
x = ...

Idem pour le suivant : $e^{[(2x-1)/[x-2)]}$ = e

D'accord.
Donc x=0 pour la c)..

Pour la d),
$e^{(2x-1)/(x-2)}$ - e = 0 -> $e^{(2x-1)/(x-2)}$ = $e^1$ -> (2x-1)/(x-2) = 1 -> (2x-1-x-2)/(x-2) = 0 -> (x-3)/(x-2) -> x=3/2 ?

Pour la e),
Je pensais faire $e$ ^{6x} $4e^{3x}$ +3=0 -> $e$ ^{6x} $4e^{3x}$ =-3 -> 6x-4*3x=-3 -> -6x=-3 -> x=-3/-6 = 1/2 ?

De même, pour le reste, j'ai essayé de me débloquée mais j'attend de voir déjà si ceux là sont correct afin de vous présentez mes autres réponses..

Le calcul :
"(2x-1)/(x-2) = 1 -> (2x-1-x-2)/(x-2) = 0 -> (x-3)/(x-2) -> x=3/2 " est faux
une erreur de signe
(2x-1)/(x-2) = 1 -> (2x-1-x+2)/(x-2) = 0 -> x+1 = 0 ; x = ...

Pour le e), pose X = $e^{3x}$

Noemi
(2x-1-x+2)/(x-2) = 0 -> x+1 = 0 ; x = ...
Je n'ai pas compris ce passage.. Qu'en est-il du dénominateur de x+1 ?
(2x-1-x+2)/(x-2) = 0 -> x+1/x-2 = 0 ; x = -1/2 ?

Une fraction est nulle, si et seulement si son numérateur est nul, son dénominateur étant non nul

(2x-1-x+2)/(x-2) = 0 -> (x+1)/(x-2) = 0 ;

Comment trouves tu x = -1/2 ?

J'ai bien compris la méthode pour la e) !
Donc en posant $X=e^{3x}$ et ensuite en calculant le discriminant on trouve x=-1 et x=-3 ?

Ensuite, pour la f) je ne trouve aucunes solution puisque x+(-x)=0 et que les x s'annulent.. de même pour la g) ...

Et pour la h), on pourrait poser $X=e^x$ , ce qui donnerait -3X = 4-X -> -2X = 4 -> X=-2 ?

Pour le e) X = -1 et X = -3, il reste à calculer x
$e^{3x}$ = -1 ; x = ....

Pour le f)
X + 1/X = 1

Pour le g)
X + e/X = e+1

Idem pour h

$e^{3x}$ = -1 soit 3x = -1 -> x = -1/3 et $e^{3x}$ = -3 -> 3x=-3 -> x=-1 ?

Non
$e^{3x}$ = -1 est impossible car $e^x$ > 0
Et la résolution passe par l'utilisation de la fonction lnx.

Bonjour!
Pour la e), je n'arrive pas à trouver je n'ai pas encore vu la fonction ln. N'y aurait-il pas une autre façon de résoudre cette question?

Pour la f), le discriminant étant négatif, on peut en déduire qu'il n'y a pas de solution.

Pour la g), On pose $e^x$ =X -> X+e/X = e+1 -> (X²+e)/X=e+1 -> X²+e=(e+1)X -> X² - (e+1)X + e = 0. Mais, je n'arrive pas à calculer le discriminant..

Et pour la h), On pose également $e^x$ =X -> 3/X = 4-X -> 3=(4-X)X -> 3=4X-X² -> X²-4X+3=0. Et je retrouve comme pour la question e); X=-1 et X=-3.

Sans connaître Ln, difficile de résoudre.

g) Calcule le discriminant.
Indique tes calculs.

Ln, c'est en utilisant la calculatrice?

Pour la g), on a X² - (e+1)X + e = 0, donc d'après la formule ∆= (-b)² - 4ac, on trouve ∆ = (e+1)²-411 ) = (e+1)²-4 ... = e²-3 ... ? Mais je bloque ici à cause du "e" !

Non pas avec la calculatrice

∆ = (e+1)²-41e
= ...