Résolution d'une équation de degré 4.

Bonjour, aprés avoir cherché longtemps je demande votre aide pour ce problème:

(E) désigne l'équation x⁴ - 4x³ + 2x² - 4x + 1 = 0

Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).
On remplace x par 0.
Démontrer que si x0 est solution de (E), alors 1/x0 est solution de (E).
Si $x_0$ est solution de l’équation(E) , on a : x0⁴ - 4x0³ + 2x0² - 4x0 = 0
Si 1/x0 est solution de l’équation (E) , on a 1/x0⁴ - 1/4x0³+1/2x0² -1/4x0 = 0
Démontrer que l'équation (E) est équivalente à l'équation x² - 4x + 2 - 4/x + 1/x² = 0.

Je pense quil suffit de diviser le tout par x².

Développer (x + 1/x )².
En posant X = x + 1/x, démontrer que l'équation x² - 4x + 2 - 4/x + 1/x² = 0 se ramène à une
équation du 2eme degré.
Résoudre l'équation du second degré, puis en déduire les solution de l'équation (E).

Je pense avoir besoin d'aide pour les question 4, 5 et 6.

Merci.

Bonjour,
Ta réponse à la question 2 n'est pas claire.
A ton avis à quoi peut servir la question 1 dans les questions suivantes ?

Ben justement je ne vois pas le lien entre la 1ere question et les autres.
La question 2 est donc fausse?
Merci d'avoir répondu aussi vite.

Je ne sais pas si la question 2 est fausse : ce n'est pas assez précis.
Tu dois démontrer : Si ceci alors cela
Il faut donc supposer que "ceci" est vrai, partir de "ceci", ce que tu as fait.
Mais il ne faut pas partir de "cela" : il faut au contraire chercher à arriver à "cela".
Reprends :
Si $x_0$ est solution,
alors $x_0$ ⁴ - $4x_0$ ³ + $2x_0$ ² - $4x_0$ +1 ( oublié ) = 0
Donc, en divisant par $x_0$ ⁴
qui est non nuld'après la question 1, j'obtiens :
.... continue

Si x0 est solution de l’équation (E) , on a : x0⁴ - 4x0³ + 2x0² - 4x0 +1= 0 avec x0 différent de 0.
D'où 1/x0 différent de 0 donc 1/x0⁴ - 1/4x0³+1/2x0² -1/4x0 +1 = 0.

Oui, mais cette réponse arrive en dernier et non pas après
Citation
Si 1/x0 est solution de l’équation (E)...
Pour la question 3, il suffit en effet de tout diviser par x² MAIS en précisant qu'on peut le faire car 0 n'est pas solution ( i.e. x≠0 ).

Ma réponse du message précédent est donc juste et claire?

Celle-ci ?
Citation
Si x0 est solution de l’équation (E) , on a : x0⁴ - 4x0³ + 2x0² - 4x0 +1= 0 avec x0 différent de 0.
D'où 1/x0 différent de 0 donc 1/x0⁴ - 1/4x0³+1/2x0² -1/4x0 +1 = 0.
"D'où 1/x0 différent de 0" : non : x0 ≠0 donc on peut tout diviser par x0⁴.
Evidemment que 1/x0 est différent de 0, mais ce qui importe c'est qu'on puisse diviser par x0⁴ (ou multiplier par 1/x0⁴ ).

Je ne comprend pas pourquoi on peut tout diviser par x0⁴.

Parce qu'il est non nul
Prends un cas plus simple :
3x+12 =0 : on peut tout diviser par 3 :
x+4 = 0
En divisant x0⁴ - 4x0³ + 2x0² - 4x0 +1= 0 des deux côtés par x0⁴, on obtient précisément l'égalité souhaitée : 1 -4/x0 + 2/x0² -4/x0³+1/x0⁴ = 0 qui peut s'écrire (1/x0)⁴ -4(1/x0)³ +2(1/x0)² -4(1/x0) +1 = 0
ce qui prouve que (1/x0) est solution de l'équation.

Je ne comprend pas comment tu arrives à ça 1 -4/x0 + 2/x0² -4/x0³+1/x0⁴ = 0. En divisant chaque membre par x0⁴ ?
J'ai compris la suite par contre.

Bonjour,

Tu divises chaque terme par $x0^4$
soit pour le premier terme
$x0^4$ / $x0^4$ = 1

Bonsoir,

Oui mais c'est pour les autres membres que je ne comprend pas.

$4x0^3$ / $x0^4$ = 4/x0

Ah ok. Je pensais que 4x03 / x04 = $4/x0^{-1}$

Oui c'est $4/x0^1$

mais $x0^1$ = x0

3 - 4 est bien égal à -1 non ?

Oui, 3 - 4 = -1

mais ici c'est 4 - 3 = 1, puisque tu calcules l'exposant du dénominateur.

$4 x 0$ ^3 $x0^4$ =
$4x0^{3-4}$ = $4x0^{-1}$ = $4/x0^1$

ou
$4/x0^{4-3}$ = $4/x0^1$

J'ai compris (j'oublie souvent les règles de base).

Pour la question 4:
(x + 1/x)² = x² +3 /x² ?

Je viens de me rendre compte de mon erreur.
La réponse est : x² + (2x² +1)/x² ?

Pour la question 5 je sais que je dois faire apparaître une équation de la forme ax² + bx + c = 0 mais je ne sais que avec X = x² ou X = √x.

On pose X = x + 1/x
D'où (E')= X² - 4X +2
C'est juste?

Tu peux simplifier l'expression : x² + (2x² +1)/x²
On pose X = x + 1/x
(E')= X² - 4X +2 Non, vérifie tes calculs le +2 ?

x² + (2x² +1)/x² = x² + 1/x² +2 ?

5.On pose X = x + 1/x
(E) = x² - 4x + 2 - 4/x + 1/x² = 0 équivaut à x² + 1/x² - 4x - 4/x + 2
donc x² + 1/x² = a ; - 4x - 4/x = b et 2 = c.
Je ne comprend donc pas pourquoi le +2 est faux.

(x+1/x)²=x²+2+1/x²
Donc le 2 est utilisé.

C'est bon j'ai compris .
Ensuite on calcule Δ avec a = 1 ; b = -4 et c = 0.
Δ = 16

X' = 4 - 4 /2
X' = 0

X'' = 4 +4 /2
X'' = 4

Tu résous ensuite x+1/x = 0 et x+1/x = 4.

Oui j'ai terminé. Merci beaucoup pour ton aide et tes explications .