Problème bille sphérique 1ere S.

Bonjour,
Je planche depuis longtemps sur ce problème mais je n'y arrive pas.

Voici l'énoncé :

On dépose une bille sphérique de rayon 5 cm dans un récipient cylindrique de diamètre 16 cm et contenant V0 cm³ d'eau.
La surface de l'eau est tangente à la bille.
Calculer le Volume V0 d'eau contenu dans le récipient.

Je sais que :
V(boule) = 4/3 π R³
V(cylindre) = π x R² x H

Ici
V( bille) = 4/3 π x 5³
V( bille) = 500/3 π cm³

V(cylindre) = π x 8² x 10
V(cylindre) = 640 π cm³
Donc :
V(eau) = V(cylindre) - V( bille)
V(eau) = 1420/3 π cm³

A vérifier.

2.Pour les billes sphérique de rayon x cm, avec 0 < x ≤ 8 , plongée dans ce récipient contenant V0 cm³ d'eau , on se propose de savoir si la bille dépasse ou non de la surface de l'eau.
On note V(x) le volume d'eau , en cm³ , nécessaire pour recouvrir exactement la bille et on note f(x) = V(x) – V0
a) Vérifier que f(x) = (4 π)/3 (-x³ +96x -355)

b) Démontrer que pour tout x ∈ ]0;8[ f(x) = (4 π)/3 (x - 5 )(ax² + bx + c) où a,b,c sont des réelsà préciser.

c) Existe t-il une valeur x0 de x, autre que 5 pour laquelle il ya affleurement ?
Si oui, déterminer l'arrondi au dixième de x0 .

d) Déterminer le signe de f(x) à l'aide d'un tableu de signes.

e) En déduire les valeurs de x, pour lesquelles les billes sont recouvertes par l'eau, et celles pour lesquelles les billes sortent de l'eau.

Je pense pouvoir réussir la c) et la d) mais je bloque à la a) et b).

Merci de votre aide.

UP

Bonjour,

Exprime V(x) et V0.

Le même exercice a déjà été traité sur ce forum.

f(x) = V(x) – V0
On sait que h = 2r = 10cm
V(x) = ( ∏. 8². 2x - ( 4/3 ∏ . x³))
V0 = ( ∏ . 8² .10 - (4/3 .∏.5³)

D'ou f(x) = ( ∏. 8². 2x - ( 4/3 ∏ . x³)) - ( ∏ . 8² .10 - (4/3 .∏.5³)

Simplifie l'expression et mets 4π/3 en facteur.

Ok merci à demain.

C'est bon j'ai réussi. En simplifiant on retombe sur f(x) = (4 π)/3 (-x³ +96x -355).

Par contre ensuite je n'arrives pas à la question b).
f(x) = (4 π)/3 (x - 5 )(ax² + bx + c)
Est ce que c'est utile d'écrire :
(4 π)/3 (-x³ +96x -355) = (4 π)/3 (x - 5 )(ax² + bx + c) ?

Il faut essayer de mettre (x - 5 ) en facteur dans (-x³ +96x -355) , non ?

Développe l'expression : (x - 5 )(ax² + bx + c)
puis identifie terme à terme avec l'autre expression.

Merci. Je n'avais pas pensé à mettre x et x² en facteur.
Je trouve a = -1 b= -5 et c = 71.

c)
Donc -x² -5x +71 avec : a = -1 b= -5 et c = 71
Delta = b² - 4ac = 309
x'= (-5 + racine de 309)/2

x'' = -(5 + racine de 309)/ 2

Donc x0 = (-5 + racine de 309)/2 car -(5 + racine de 309)/ 2 est impossible.
Arrondi au dixième ça donne 6,3.

d) Par contre pour le tableau de signes j'utilise quelle expression de f(x)?

Pour le tableau de signe, utilise l'expression factorisée.

(x - 5 )(-x² -5x + 71) celle ci?

factorise aussi le terme au carré.

Je ne vois pas de quelle expressions vous parlez.

(x - 5 )(-x² -5x + 71) =
(x - 5)(x - x') (x - x")

Merci
(x - 5 )(-x² -5x + 71) = (x - 5)(x - x') (x - x") équivaut à
(x - 5)[x -((-5 + √309)/2))( x - ( -(5 +√309)/ 2))]

Donc je doit obtenir un tableau de signe à 4 lignes?
Je dois etudier le signe de chaque termes ?

Oui, le tableau à 4 lignes est possible.

Mais il n'y a pas une technique plus simple ?
Comme par exemple étudier le signe du polynome en mettant en borne les racines -(5 +√309)/ 2 et (-5 + √309)/2)?
Puis sur la 2eme ligne étudier (x - 5) et conclure sur la 3eme ligne ?

Tu peux donner le signe de (x-5) et du polynôme de degré 2, si tu connais la propriété pour les polynômes de degré 2.

Oui je connais cette propriété.

x : - ∞ -(5 +√309)/ 2 5 (-5 + √309)/2) + ∞
signe de (-x² -5x + 71) - + + -
signe de (x - 5) - - + +
signe de (x - 5 )(-x² -5x + 71) + - + -

Don je ne me sert pas de (x - 5 )(-x² -5x + 71) =
(x - 5)(x - x') (x - x")

C'est juste.