Dérivées de fonctions exponentielles.

[Kikou76]

Bonjour à tous.
J'ai un exercice sur les dérivées de fonctions exponentielles.
Je pense avoir plutot bien compris la méthode puisque les formules de dérivés sont déjà acquise.
Mais comme il d'agit de fonctions exponentielles, j'aurais simplement voulu avoir votre avis sur mes résultats.

Voici les fonctions à dériver:

a) f(x) = $(e$^x$-1)/(3e^x$+2)
b) f(x) = $(e$^x$-e$^{-x}$)/(e$^x$+e^{-x}$)
c) f(x) = (x²$+1)/e^{2x}$
d) f(x) = $e^{x²}$

Voici ce que j'ai fais..

a) f'(x) = $[e$^x$(3e$^x$+2)-(e$^x$-1)\ast 3e^x$] / $[(3e^x$+2)²] = $(3e$^{2x}$+2e$^x$-3e$^{2x}$+3e^x$) / $[(3e^x$+2)²] = $5e^x$ / $[(3e^x$+2)²] ?

b) f'(x) = $[(e$^x$-e$^{-x}$)<em>(e$^x$+e^{-x}$) - $(e$^x$+e$^{-x}$)</em>(e$^x$-e^{-x}$] / $[(e$^x$+e^{-x}$)²] = $1/[(e$^x$+e^{-x}$)²] ?

c) f'(x) = $[2x\ast (e^{2x}$) - (x²$+1)\ast e^{2x}$] / $(e^{2x}$)² = $[2ex$^{2x}$-ex$^{4x}$+e{2}^x$] / $(e^{2x}$)² ?

d) f'(x) = $2x\ast e^{x²}$ ?

Merci d'avance et bonne soirée!

[Noemi]

Bonjour,

a) Juste
b) la dérivée de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$
c) la dérivée de $e^{2x}$ est 2 $e^{2x}$
d) Juste

[Kikou76]

Bonjour!

Pour la b), même en rectifiant mon erreur de la dérivée de $e^{-x}$ qui est $-e^{-x}$, j'abouti toujours à mon résultat $1/(e$^x$+e^{-x}$)²
Voici mon calcul :
f'(x) = $(e$^x$-(-e$^{-x}$))(e$^x$+e^{-x}$) - $(e$^x$-e$^{-x}$)(e$^x$+(-e^{-x}$)) / $(e^x$+e
x)²
f'(x) = $e$^{2x}$+e+e+e^{-2x[ $}$-e$^{2x}$-e-e-e$^{-2x}$/(e$^x$+e^{-x}$)²
f'(x) = $1/(e$^x$+e^{-x}$)²

Pour la c), je bloque aussi car malgré la modification de la dérivée de $e^{2x}$ qui est $2e^{2x}$, voici ce que je trouve..
f'(x) = $[2x\ast (2e^{2x}$) - (x²$+1)(2e^{2x}$)] / $(e^{2x}$)²
f'(x) = $[4xe$^{2x}$-2xe$^{4x}$+2e^{2x}$)] / $e^{4x}$
Mais je bloque ici..

[willatopia]

salut , ton prof a du te donner une formule qui dit $e^u$) ' = $e^u$*u'

[willatopia]

non ?

[Kikou76]

Non, je ne la connaissais pas..

[willatopia]

ok alors maintenant tu sais qu'elle existe

[Noemi]

b) f'(x) = $(e$^x$-(-e$^{-x}$))(e$^x$+e^{-x}$) - $(e$^x$-e$^{-x}$)(e$^x$+(-e^{-x}$)) / $(e$^x$+e^{-x}$)²
f'(x) = $(e$^{2x}$+1+1+e{-}^{2x}$ $-e$^{2x}$+1+1-e$^{-2x}$)/(e$^x$+e^{-x}$)²
f'(x) = ..... $/(e$^x$+e^{-x}$)²

c) f'(x) = $[2x\ast (e^{2x}$) - (x²$+1)(2e^{2x}$)] / $(e^{2x}$)²
= ....

[Kikou76]

Merci beaucoup willatopia!

donc pour la b), je trouve bien $4/(e$^x$+e^{-x}$)²
et pour la c), je trouve $[2x{e}^{2x}$-2x²$e$^{2x}$-4e^{2x}$] / $e^{4x}$ soit [2(x-x²$-2)e^{2x}$] / $e^{4x}$

!!

[Noemi]

pour le c, tu peux simplifier.