f(x)=(ax+b)/(cx+d)

Bonjour a tous, j'ai un exercice de mathématiques que je n'arrive pas à résoudre entièrement après de nombreuses tentatives.

Je pense avoir quelques bonnes pistes comme pour le 1] :
(ax)/d+b/d est une fonction affine.
Si d=0 la fonction n'existe pas.

Si a=0 la fonction est constante.
Si d et b sont de même signe f≥0
Si d et b sont de signe différent f<0

Sinon c'est une droite.
Voilà mon début, sur la suite je suis complètement laché!
Voici l'énnoncé de l'exercice:

On considère la famille de fonctions f(x)=(ax+b)/(cx+d)
(chaque valeur de quadruplet ( a,b,c,d ) définit une fonction f et, pour une fonction f donnée, a , b, c, d, sont des constantes ...)

1] Quelle est la nature de la fonction f lorsque c=0 ? Quelles sont alors ses variations ? ( ne pas oublier de distinguer les cas suivants les signes des autres constantes ...)

2]On suppose maintenant c≠0 et ad-bc=0 ; montrer qu'alors f est une fonction constante sauf pour une valeur interdite ( préciser la constante k et la valeur interdite ...)

3] Représenter sur un même graphique la fonction correspondant à a=4, b=1, c=3,d=2 puis celle correspondant à a=2, b=3, c=4, d=1

4] Ces fonctions f ( pour c≠0 et ad-bc≠0 ) sont dites homographiques à chaque valeur de la variable x ( exception faîte d'une "valeur interdite" ...) elles associent une valeur y=f(x) et l'on peut chercher à retrouver la valeur de l'antécédent x quand on connaît celle de l'image y : écire l'expréssion de x en fonction de y. Que constate-t-on en comparant cette expression avec l'écriture de la fonction f ?

Merci de votre aide pour cet exercice!

Bonjour,

Etudie les cas a > 0 et a < 0.
Calcule la dérivée de la fonction.

Merci

Pour la 1) je vais essayer

Par contre pour la 2), je n'ai pas encore appris les dérivées

Pour la 1), tu pourrais utiliser ce que tu as fait précédemment, pour la 2), dans ce cas calcule f(x)-f(y) pour x≠y, si tu trouves 0 c'est que la fonction est constante.

Daccord mais f(y) consiste en quoi ?

Bonsoir,

f(x)=(ax+b)/(cx+d)
Comme l'a indiqué kanial, calcule f(x) - f(y)

bonjour

je suis toujours coincé au même endroit

pour la 1 je ne vois pas comment faire le tableau avec a< ou > 0

pour la 2 pouvez vous me poser f(x)-f(y)=? car je ne vois pas ce qu'il faut developper

merci

si c = 0; f(x) = (ax+b)/d = ax/d + b/d
forme y = mx + n
Quelles sont les variations possibles pour une telle fonction ?
f(y) = (ay+b)/(cy+d);
Détermine f(y) - f(x) = (ay+b)/(cy+d) - (ax+b)/(cx+d)
réduis au même dénominateur.

merci

pour la 1 je crois que je vais laisser tomber

pour la 2
fy-fx= (y(ad-bc)+x(bc-ad))/ (cy+d)(cx+d)
donc si ad-bc=0 alors ad =bc donc fy-fx =0
pour une valeur interdite de x=-d/c et y=-d/c

par contre je ne sais pas expliquer pourquoi la fonction f est constante ( par rapport à la question)

Pour le 1) c'est l'équation d'une droite, tu analyses le signe du coefficient directeur.

tu trouves f(x) = 0 (0 est une constante).

Poour résumer

la 1)

(ax)/d+b/d est une fonction affine.
Si d=0 la fonction n'existe pas.

Si a=0 la fonction est constante.
Si d et b sont de même signe f≥0
Si d et b sont de signe différent f<0

Sinon c'est une droite.avec comme coefficient directeur -b/a

F(x) -∞ -b/a +∞
Signe de ax+b - ∅ +

merci

je vais maintenant faire la 3 et 4

Attention,

Le coefficient directeur est a/d.