Expression de la somme des termes d'une suite géométrique


  • M

    Bonjour à tous,

    Je dois faire un devoir maison pour Lundi prochain, mais je bloque un peu sur un des exercices :

    On me donne A = 1+q¹+q²+q³+q⁴+q⁵+....... q^(n).

    Ensuite, on me demande :

    • de donner l'expression de qA.
    • de calculer A - qA
    • Et, en se servant des deux résultats précédents, de démontrer que A = (1 - q^(n+1) ) / (1 - q) (pour q différent de 1).

    Mon problème est que je n'arrive pas à trouver une expression simplifiée de qA, ce qui me bloque car j'en ai besoin pour la suite... J'ai multiplié tout A par q ( = q + q2 +.........+ q^(n)+1)-, mais c'est une expression trop compliquée pour correspondre, enfin je pense.
    J'ai pensé que pour démontrer que A est bien égal au résultat demandé, il fallait faire A - qA +qA. Ca me semble logique, mais n'arrivant pas à trouver qA, je ne peux pas avancer plus...

    Merci d'avance pour votre aide !
    Bonne après-midi.


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    A = 1+q¹+q²+q³+q⁴+q⁵+....... q^(n).
    qA = q¹+q²+q³+q⁴+q⁵+....... + q^(n) + q^(n+1).

    Tu soustrais
    A - qA
    La plupart des termes s'annulent q1q^1q1 - q1q^1q1 = 0
    A - qA = ......


  • M

    Merci d'avoir répondu si rapidement !

    Mais je ne comprends pas : qA ne peut pas s'écrire plus simplement ?

    Car après, A - qA est égal à 1 + q^(n+1)

    Et ensuite, je suis bloqué pour démontrer que A est bien égal à (1 - q^(n+1) ) / (1 - q), en faisant A - qA + qA...


  • N
    Modérateurs

    Non,

    qA ne peut pas s'écrire plus simplement.
    Tu dois remarquer que les termes de q1q^1q1 à qnq^nqn s'éliminent.
    A = 1+q¹+q²+q³+q⁴+q⁵+....... q^(n).

    • qA =-q¹- q²- q³- q⁴- q⁵ - ..... - q^(n) - q^(n+1).

    Il reste 1 - qn+1q^{n+1}qn+1


  • M

    D'accord, merci. Je m'étais trompé dans le signe...

    donc pour retrouver A = (1 - q^(n+1) ) / (1 - q), je dois effectuer :
    A = A -qA+ qA
    A = 1 - q^(n+1) + q¹+q²+q³+q⁴+q⁵+....... + q^(n) + q^(n+1)
    A = 1 - q¹+q²+q³+q⁴+q⁵+....... + q^(n)

    Et je bloque à nouveau... Il n'y a pas une autre façon que la "mienne" pour retrouver A ?


  • N
    Modérateurs

    Tu écris :
    A = 1+q¹+q²+q³+q⁴+q⁵+....... q^(n).

    • qA =-q¹- q²- q³- q⁴- q⁵ - ..... - q^(n) - q^(n+1).

    = 1 - qn+1q^{n+1}qn+1
    Soit A-qA = 1 - qn+1q^{n+1}qn+1
    Tu factorises
    A(1-q) = 1 - qn+1q^{n+1}qn+1
    puis A = ....


  • M

    Merci beaucoup pour ton aide !

    J'étais parti sur une mauvaise hypothèse, donc évidemment j'aurais eu du mal à trouver...

    Encore merci et à bientôt !


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