Problème sur les exponentielles, avec un peu de trigonométrie et des limites.

Bonjour;
J'ai un devoir maison très long à faire. J'ai déjà fait une bonne partie, mais cet exercice me donne du fil à retordre... J'ai pas mal de lacunes, à force de ne pas retravailler les cours des années précédentes, et d'oublier des méthodes essentielles et pourtant souvent simples aussi.

Voici le problème:
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (o ;i,j) L'unité graphique est 4
Cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.

Soit f la fonction définie sur R par :
f (x) = (2+cos $x)e^{1−x}$ .
On note C la courbe représentative de f dans le repère (o ;i,j)

Montrer que, pour tout x de R: f (x) > 0.
a. Montrer que, pour tout x de R : √2cos(x- π /4)=cosx + sinx
b. En déduire que, pour tout x de R : 2+cos x +sin x > 0.
c. Montrer que f est strictement décroissante sur R.
a. Montrer que, pour tout x de R : $e^{1-x}$ ≤ f(x) ≤ $3e^{1-x}$
b. En déduire les limites de f en +∞ et en −∞.
c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite
de f en +∞.
a. Montrer que, sur l'intervalle [0 ; π], l'équation f (x) = 3 admet une solution
unique α.
b. Donner un encadrement de α d'amplitude 10−2.
Représenter la courbe C sur [0 ; 4].

La question 1., ainsi que la 2.a et la 2.b., et puis la 3.a sont faites...
Je bloque en revanche pour la 2.c... La 3.b. aussi vu que les limites c'est pas vraiment mon truc...
J'essaie les questions suivantes pour l'instant.
Si vous pouviez m'éclairer rien qu'en me donnant une piste, ce ne serait pas de refus :)!

Voilà!! Et merci d'avance pour votre aide!!

Bonjour,

La question 2 c. découle de la question 2b.

Question 3b : Quelle est la limite en + ∞ de $e^{1-x}$ ?

lim +∞ $e^{1-x}$ = +∞ il me semble.
Et comme 2+cos(x) est compris entre 1 et 3 il est donc positif...
Donc elle tend vers +∞ en +∞?? non??

Et pour la 2.c ca donne cos(x)+sin(x)+2>0
Donc 2+cos(x)>-sin(x)
Donc f(x)>-sin(x)× $e^{1-x}$

... Mais je ne vois pas en quoi ça m'aide en fait...

Non,

La limite de $e^{1-x}$ quand x tend vers +∞ est 0+
et quand x tend vers -∞ ?

2 c) Quelle est la dérivée de la fonction f ?

Ah oui car $e$ ^{1-x} $e^1$ ÷ $e^x$ qui à une limite en 0+ quand x tend vers +∞ c'est vrai...
Pour lim x→-∞ $e^{1-x}$ =0- Je crois...

Pour la 2.c.
J'ai commencé à calculer justement.
Ca donne f(x)=-sin(x)× $e$ ^{1-x} $2+cos(x))(e^{1-x}$ )

Mais pour développer...
f(x)=-sin× $e$ ^1 $2e^{1-x}$ +cos× $e^1$

Mais je ne suis pas sure du tout, mon raisonnement me semble bizarre..

Si x tend vers -∞, 1-x tend vers +∞, donc $e^{1-x}$ tend vers .....

La dérivée :
f' $x)=-sin(x)e^{1-x}$ - $2+cos(x))(e^{1-x}$ )

Mets $e^{1-x}$ en facteur.

Ah mince.. il tend vers +∞ évidemment...

f' $x)=e^{1-x}$ (-sin(x)+2+cos(x))

Mais c'est cos(x)+2**+**sin(x) qui est >0

La dérivée :
f'(x)=- $e^{1-x}$ (sin(x)+2+cos(x))
or 2 + cos x + sinx > 0
donc
....

Je ne voudrai pas remettre en question ce que tu dis mais...
f'(x)=(uv)'=u'v+uv'
Pas - ...
Donc ca marche pas comme ça il me semble..
c'est lorsque que f'(x)=(u/v)' qu'on a u'v - uv'
...

Mais la dérivé de $e^{1-x}$ est $e^{1-x}$ .

Pour les limites... Comme cos(x)+2 tend vers +∞ en +∞ la limite est de 0, et en -∞, elle est de +∞ c'est ça??

Ah oui... J'avais oublié ce facteur -1 dans la dérivée de $e^{1-x}$ ...

Attention :
-1 ≤ cos x ≤ 1
donc
...≤ cos x + 2 ≤ ....

Ca j'ai déjà calculé...
Et j'avais oublié ... Quelle idiote je fais.
1 ≤ cos x + 2 ≤ 3
Donc cos x +2 n'a pas vraiment de limite. Elle oscille entre 1 et 3.
Dans ce cas on ne tiens compte que de la limite de $e^{1-x}$ je suppose.

Mais je ne comprends pas l'interprétation géométrique que je dois faire de la limite de f(x) en +∞... Dois-je dire si elle est majorée ou minorée?? C'est ça la question??

Quand x tend vers +∞, f(x) tend vers 0, donc minorée par ..... et asymptote .....

Elle est minorée par 0. Son asymptote est y=0.

Mes limites sont-elles bonnes?? 0 pour x→+∞ et +∞ pour x→-∞ ??
Je suis sure que c'est ça, je demande juste une confirmation...

C'est correct.

Merci!! Je travaille maintenant pour la 4. Sur l'intervalle 0;pi pour prouver qu'il n'y a qu'une solution unique alpha à f(x)=3.
La fonction étant strictement décroissante sur R... Elle est décroissante sur 0;pi
Donc f(x)=3 ne peut avoir qu'une seule solution.

Calcule f(0) et f(π) et vérifie que 3 appartient à l'intervalle [f(0);f(π)].

Oh oui pas bete...

Mais pour f(0) ça me donne 3e... et f $p i$ me donne $e^{1-pi}$

$e^{1-π}$ ≈0,12 et 3e≈8,15
Donc 3 se trouve sur l'intervalle [f(π);f(0)]

Mais il faut ensuite que je donne un encadrement de cette solution unique alpha... d'amplitude $10^{-2}$

Cherche un encadrement de a à l'aide de la calculatrice.

a=0.8731
0.8721<a<0.8741

Hum.. je recommence. erreur de frappe. ∂=alpha
∂=0,8731
0,8721<∂<0,8741 voilà
J'ai pu réussir à finir cet exercice, grâce à vous.
Merci beaucoup!!

On demande un encadrement de a d'amplitude $10^{-2}$

ouiiiii... chui tete en l'air, les fautes d'étourderies faut que j'arrête.
0,8631<∂<0,8831

Non,

Amplitude $10^{-2}$

0,86<∂<8,88?????

Non

0,88 - 0,86 = 0,02 et non 0,01

Les valeurs sont proches de : 0,8731

0,865<∂<0,875

C'est correct.

Ouf... Bah j'ai eu du mal Merci d'avoir été là pour me recadrer.

L'essentiel est que tu aies compris.

Oui, j'ai compris maintenant, merci.

Mais J'ai un autre exercice ou je pense que j'ai faux. Parce que pour la propositions a, je la trouve fausse, or elle est reprise dans la c et la d... Donc je ne pense pas qu'il n'y ai qu'une seule réponse bonne dans ce QCM vu qu'il est dit qu'il était possible qu'il y ait plusieurs réponses... Je peux te demander encore de m'aider??
C'est un problème de développement je pense.

Propose ton exercice dans un autre post.